O plano x+y+z=1 intercepta o cilindro x^{2}+y^{2}=1 em uma elipse. Determine os pontos desta elipse que estão mais próximo e mais distante da origem.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é dado):
  • O plano é dado por \;x+y+z=1\;.
  • O cilindro é dado por \;x^{2}+y^{2}=1\;.
  • A interseção desses dois é uma elipse (isto já está dito no enunciado).
  • Pedem: determinar os pontos dessa elipse que estão mais próximos e mais distantes da origem (0,0,0).
Informações relevantes que vou usar depois:
  • Qualquer ponto da elipse satisfaz simultaneamente \;x^{2}+y^{2}=1\; e \;z=1-x-y\;.
  • A distância ao quadrado da origem de um ponto (x,y,z) é \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\;. Trabalhar com distância ao quadrado evita raízes e preserva as posições de mínimo/máximo.

Passo 2

Reduzir o problema a uma quantidade mais simples usando o cilindro:
  • Como estamos sobre a superfície do cilindro, para qualquer ponto da elipse vale \;x^{2}+y^{2}=1\;.
  • A distância ao quadrado da origem é
D(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Substituindo \;x^{2}+y^{2}=1\; obtemos
D=1+z^{2}.
Logo, para encontrar pontos mais próximos ou mais distantes da origem basta minimizar e maximizar z^{2} sobre a elipse. Em outras palavras, precisamos achar os pontos da interseção que minimizam e maximizam |z|.

Passo 3

Expressar z em termos de x,y usando o plano e reduzir a otimização:
  • Do plano \;x+y+z=1\; temos
z=1-x-y.
  • Então queremos extremizar a função
h(x,y)=z^{2}=(1-x-y)^{2}
sujeita à restrição da circunferência
x^{2}+y^{2}=1.
É mais simples trabalhar com a quantidade linear s=x+y, porque z=1-s e h=(1-s)^{2}. Assim basta encontrar os extremos de s=x+y sobre o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1.

Passo 4

Encontrar os extremos de s=x+y sobre o círculo unitário (argumento geométrico / Cauchy–Schwarz):
  • Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou observando produto escalar), para vetores (x,y) e (1,1) temos
x+y = (x,y)\cdot(1,1) \le \|(x,y)\|\,\|(1,1)\|.
  • Como \|(x,y)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1}=1 (estamos no círculo unitário) e \|(1,1)\|=\sqrt{2}, segue
x+y \le \sqrt{2}.
  • Pelo mesmo raciocínio, x+y \ge -\sqrt{2}. Portanto s=x+y atinge seus extremos \pm\sqrt{2} sobre o círculo.
  • As condições de igualdade acontecem quando (x,y) é paralela a (1,1) (para s=\sqrt{2}) ou a (-1,-1) (para s=-\sqrt{2}). Como (x,y) está no círculo unitário, os pontos correspondentes são
    • Para s_{\max}=\sqrt{2}: (x,y)=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
    • Para s_{\min}=-\sqrt{2}: (x,y)=\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

Passo 5

Calcular z nesses pontos e, portanto, as coordenadas completas dos pontos da elipse:
  • Para (x,y)=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) temos
z = 1 - x - y = 1 - \sqrt{2}.
Logo o ponto é
\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,1-\sqrt{2}\right).
  • Para (x,y)=\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) temos
z = 1 - x - y = 1 + \sqrt{2}.
Logo o ponto é
\left(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,1+\sqrt{2}\right).

Passo 6

Verificar qual é o mais próximo e qual é o mais distante (comparando D=1+z^{2}):
  • Para z=1-\sqrt{2} temos
D_{\text{1}}=1+(1-\sqrt{2})^{2}=1+(1-2\sqrt{2}+2)=4-2\sqrt{2}.
  • Para z=1+\sqrt{2} temos
D_{\text{2}}=1+(1+\sqrt{2})^{2}=1+(1+2\sqrt{2}+2)=4+2\sqrt{2}.
Como 4-2\sqrt{2}<4+2\sqrt{2}, o ponto com z=1-\sqrt{2} é o mais próximo da origem e o outro é o mais distante. (Se quiseres, a distância euclidiana é \sqrt{4-2\sqrt{2}} e \sqrt{4+2\sqrt{2}} respectivamente.)

Resposta

\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,1-\sqrt{2}\right) (ponto mais próximo)
\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,1+\sqrt{2}\right) (ponto mais distante)

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