O plano
intercepta o cilindro
em uma elipse. Determine os pontos desta elipse que estão mais próximo e mais distante da origem.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é dado):
- O plano é dado por
. - O cilindro é dado por
. - A interseção desses dois é uma elipse (isto já está dito no enunciado).
- Pedem: determinar os pontos dessa elipse que estão mais próximos e mais distantes da origem
.
Informações relevantes que vou usar depois:
- Qualquer ponto da elipse satisfaz simultaneamente
e . - A distância ao quadrado da origem de um ponto
é . Trabalhar com distância ao quadrado evita raízes e preserva as posições de mínimo/máximo.
Passo 2
Reduzir o problema a uma quantidade mais simples usando o cilindro:
- Como estamos sobre a superfície do cilindro, para qualquer ponto da elipse vale
. - A distância ao quadrado da origem é
Substituindo
obtemos
Logo, para encontrar pontos mais próximos ou mais distantes da origem basta minimizar e maximizar
sobre a elipse. Em outras palavras, precisamos achar os pontos da interseção que minimizam e maximizam
.
Passo 3
Expressar
em termos de
usando o plano e reduzir a otimização:
- Do plano
temos
- Então queremos extremizar a função
sujeita à restrição da circunferência
É mais simples trabalhar com a quantidade linear
, porque
e
. Assim basta encontrar os extremos de
sobre o círculo unitário
.
Passo 4
Encontrar os extremos de
sobre o círculo unitário (argumento geométrico / Cauchy–Schwarz):
- Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou observando produto escalar), para vetores
e temos
- Como
(estamos no círculo unitário) e , segue
- Pelo mesmo raciocínio,
. Portanto atinge seus extremos sobre o círculo. - As condições de igualdade acontecem quando
é paralela a (para ) ou a (para ). Como está no círculo unitário, os pontos correspondentes são - Para
: . - Para
: .
- Para
Passo 5
Calcular
nesses pontos e, portanto, as coordenadas completas dos pontos da elipse:
- Para
temos
Logo o ponto é
- Para
temos
Logo o ponto é
Passo 6
Verificar qual é o mais próximo e qual é o mais distante (comparando
):
- Para
temos
- Para
temos
Como
, o ponto com
é o mais próximo da origem e o outro é o mais distante. (Se quiseres, a distância euclidiana é
e
respectivamente.)