A prefeitura de Bom Jesus resolveu reservar uma área retangular de 300 m^2 para a construção de um pequeno parque infantil. Entretanto, para que o parque não fique muito estreito e comprido, a prefeitura determinou que uma de suas dimensões deverá ser maior ou igual à um terço da outra, e menor ou igual ao triplo da outra, ou seja,
x3 <= y <= 3 x
em que x e y são as dimensões do parque. Faça o que se pede:
(b) determine os valores mínimo e máximo de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A prefeitura quer construir um parque infantil retangular com área de 300 m^2. As dimensões do parque são x e y. Mas tem uma regra: uma dimensão tem que ser pelo menos um terço da outra e no máximo três vezes a outra. Isso significa que:
x3 <= y <= 3x
Vamos precisar usar álgebra básica para achar os valores mínimo e máximo de x que seguem essas condições.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a área de um retângulo é dada por:
x times y = 300
Isso significa que:
y = 300x
Então, podemos substituir y na desigualdade que temos.

Passo 3

Substituindo y na desigualdade:
x3 <= 300x <= 3x
Isso nos dá duas partes para resolver separadamente:
  1. x3 <= 300x
  2. 300x <= 3x

Passo 4

Vamos resolver a primeira parte:
x3 <= 300x
Multiplicando ambos os lados por 3x (que é positivo, então a desigualdade não muda):
x^2 <= 900
Então:
x <= raiz900 Rightarrow x <= 30

Passo 5

Agora, a segunda parte:
300x <= 3x
Multiplicando ambos os lados por x:
300 <= 3x^2
Dividindo por 3:
100 <= x^2
Então:
x >= raiz100 Rightarrow x >= 10

Resposta

Os valores mínimo e máximo de x são:
10 <= x <= 30

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