Suponha que, para todo x in[-1,1], a função f satisfaça
e^x^4-x^2 <= f(x) <= 1+x^2-x^4
determine lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de uma função quando se aproxima de 0. A função está “presa” entre duas outras funções: e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Aperto (também conhecido como Teorema do Sandwich), que nos ajuda a encontrar o limite de uma função que está entre duas funções que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função de baixo, que é limx to 0 e^x^4-x^2 , quando x^4 - x^2 to 0 - 0 = 0 se aproxima de 0.
e^0 = 1
Como está indo para 0, e também vão para 0. Então, o expoente fica:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função de cima, que é limx to 0 (1 + x^2 - x^4) , quando 1 + 0^2 - 0^4 = 1 + 0 - 0 = 1 se aproxima de 0.
Substituindo :

Passo 4

Agora que temos os limites das duas funções que estão “apertando” limx to 0 e^x^4-x^2 = 1 :
limx to 0 (1 + x^2 - x^4) = 1
Pelo Teorema do Aperto, se está entre essas duas funções e ambas tendem para o mesmo limite quando vai para 0, então também vai para esse limite.

Resposta

limx to 0 f(x) = 1

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