Pruhilamas
Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e:
a) têm todos os dígitos diferentes.
b) não têm dígitos iguais a 3, 5 ou 6.
c) têm as propriedades a) e b) simultaneamente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 atendendo a diferentes condições. Vamos precisar entender de contagem de possibilidades e trabalhar com restrições de dígitos.

Passo 2

Primeiro, queremos saber quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e têm todos os dígitos diferentes.
Passo 2.1: O número tem quatro dígitos e deve ser maior que 2400, então o primeiro dígito pode ser 2, 3, 4, …, 9. Mas como deve ser maior que 2400, se o primeiro dígito for 2, o segundo deve ser pelo menos 4.
Passo 2.2: Vamos dividir em dois casos:
  • Caso 1: Números que começam com 2 e o segundo dígito é 4, 5, …, 9.
  • Caso 2: Números que começam com 3, 4, …, 9, sem restrições no segundo dígito além de serem diferentes.
Passo 2.3:
  • Caso 1:
    • Primeiro dígito: 1 opção (2).
    • Segundo dígito: 6 opções (4,5,6,7,8,9).
    • Terceiro dígito: 8 opções (exceto os dois já usados).
    • Quarto dígito: 7 opções.
    • Total: 1 times 6 times 8 times 7 = 336.
  • Caso 2:
    • Primeiro dígito: 7 opções (3,4,5,6,7,8,9).
    • Segundo dígito: 9 opções (0-9, exceto o primeiro).
    • Terceiro dígito: 8 opções.
    • Quarto dígito: 7 opções.
    • Total: 7 times 9 times 8 times 7 = 3528.
Passo 2.4: Somando os dois casos:
336 + 3528 = 3864.

Passo 3

Agora, queremos números maiores que 2400 que não tenham dígitos iguais a 3, 5 ou 6.
Passo 3.1: Os dígitos permitidos são 0,1,2,4,7,8,9.
Passo 3.2: O primeiro dígito não pode ser 0 e deve ser pelo menos 2 para garantir que o número seja maior que 2400. Então, opções para o primeiro dígito: 2,4,7,8,9.
Passo 3.3:
  • Se o primeiro dígito for 2, o segundo dígito deve ser pelo menos 4 para que o número seja maior que 2400.
  • Caso contrário, qualquer dígito permitido pode ser usado nos demais lugares.
Passo 3.4: Calculamos separadamente:
  • Quando o primeiro dígito é 2:
    • Segundo dígito: 4,7,8,9 (4 opções).
    • Terceiro dígito: 7 opções.
    • Quarto dígito: 7 opções.
    • Total: 1 times 4 times 7 times 7 = 196.
  • Quando o primeiro dígito é 4,7,8 ou 9:
    • Primeiro dígito: 4 opções.
    • Segundo, terceiro e quarto dígitos: 7 opções cada.
    • Total: 4 times 7 times 7 times 7 = 1372.
Passo 3.5: Somando os dois casos:
196 + 1372 = 1568.

Passo 4

Agora, queremos números que atendam simultaneamente às condições das partes a) e b), ou seja, maiores que 2400, com todos os dígitos diferentes e sem usar 3, 5 ou 6.
Passo 4.1: Dado que não podemos usar 3,5 ou 6, os dígitos disponíveis são 0,1,2,4,7,8,9.
Passo 4.2: Dividimos novamente em dois casos:
  • Caso 1: Números que começam com 2 e o segundo dígito é pelo menos 4.
  • Caso 2: Números que começam com 4,7,8 ou 9.
Passo 4.3:
  • Caso 1:
    • Primeiro dígito: 1 opção (2).
    • Segundo dígito: 4 opções (4,7,8,9).
    • Terceiro dígito: 5 opções (excluindo os dois já usados e 0).
    • Quarto dígito: 4 opções.
    • Total: 1 times 4 times 5 times 4 = 80.
  • Caso 2:
    • Primeiro dígito: 4 opções (4,7,8,9).
    • Segundo dígito: 6 opções (0,1,2,4,7,8,9 exceto o primeiro).
    • Terceiro dígito: 5 opções.
    • Quarto dígito: 4 opções.
    • Total: 4 times 6 times 5 times 4 = 480.
Passo 4.4: Somando os dois casos:
80 + 480 = 560.

Resposta

a) 3864 números.
b) 1568 números.
c) 560 números.

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