Calcular a pressão efetiva do tanque confinado com ar considerando que o fluido que faz interface com o ar tem densidade de 2,4 ; \rho_{\text {água }}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}á e densidade mercúrio é 13,6 . Re: P_{a r}=0,38 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} ou P_{\mathrm{ar}}=37 \mathrm{kPa}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a pressão efetiva do ar no tanque, ou seja P_{\text{ar}}-P_{\text{atm}} (pressão relativa em relação à atmosfera), usando o manômetro mostrado na figura.
Informações dadas (peguei estes números da imagem):
  • O fluido que faz interface com o ar (fluido intermédio) tem densidade relativa 2{,}4 vezes a da água, ou seja \rho_{\text{int}}=2{,}4\cdot\rho_{\text{água}}á.
  • \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á.
  • Densidade do mercúrio: \rho_{\mathrm{Hg}}=13{,}6\cdot\rho_{\text{água}}=13{,}6\cdot1000\\ \mathrm{kg/m^3}á.
  • Alturas (peguei estes comprimentos da figura):
    • Altura do contato ar / fluido intermédio (esquerda) medida a partir do mesmo datum: h_{\text{ar}}=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • Altura do topo da coluna de água no ramo central: h_{\text{w,left}}=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m}.
    • Altura do nível água/fluido intermédio no ramo direito: h_{\text{w,int}}=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
    • Altura do topo livre à direita (superfície aberta, ligada à atmosfera): h_{\text{atm}}=45\\ \mathrm{cm}=0{,}45\\ \mathrm{m}.
Resumo das densidades numéricas que usarei:
\rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_{\text{int}}=2400\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho_{\mathrm{Hg}}=13600\\ \mathrm{kg/m^3}.á

Passo 2

Ideia física e estratégia (explicação didática):
  • A pressão se propaga em um fluido estático segundo a lei hidrostática: quando se desce uma distância vertical h num líquido de densidade \rho, a pressão aumenta em \rho g h, onde g é a aceleração da gravidade.
  • Em manômetros com líquidos imiscíveis em camadas, para ligar a pressão de duas superfícies livres (aqui: superfície em contato com o ar do tanque e superfície aberta à atmosfera), somamos/subtraímos as parcelas \rho g h correspondentes às colunas de cada fluido entre essas superfícies, respeitando o sinal (subir diminui pressão, descer aumenta).
  • Escolhemos um caminho contínuo entre a superfície em contato com o ar e a superfície aberta (à direita) e somamos as variações de pressão atraves das camadas. O resultado é a diferença de pressão entre ar e atmosfera:
P_{\text{ar}}-P_{\text{atm}}=\text{soma das contribuições } \rho g h \text{ apropriadas.}çõ

Passo 3

Escolha das colunas e montagem da equação (passo a passo):
  • Observe que, do ponto livre à direita (atmosfera) até o nível de mercúrio do lado direito, descemos a coluna de água de altura \bigl(h_{\text{atm}}-h_{\text{w,left}}\bigr) (a parte de água que está acima do ramo esquerdo/central) — essa queda contribui com \rho_{\text{água}} g (h_{\text{atm}}-h_{\text{w,left}})á.
  • Do nível água/fluido intermédio do ramo direito até o ponto onde o ar encontra o fluido intermédio (lado esquerdo), há uma diferença vertical de fluido intermédio \bigl(h_{\text{w,int}}-h_{\text{ar}}\bigr); atravessá‑la contribui com \rho_{\text{int}} g (h_{\text{w,int}}-h_{\text{ar}}).
  • A diferença de alturas das superfícies de mercúrio entre o ramo direito e o ramo esquerdo é igual à soma das duas quantidades acima (porque o mercúrio está em baixo e as diferenças de nível do mercúrio são equilibradas pelas colunas de fluido mais leves sobre ele). Assim a diferença de nível do mercúrio é
\Delta h_{\mathrm{Hg}}= (h_{\text{atm}}-h_{\text{w,left}}) + (h_{\text{w,int}}-h_{\text{ar}}).
Essa diferença de nível de mercúrio contribui com \rho_{\mathrm{Hg}} g\,\Delta h_{\mathrm{Hg}}.
  • Portanto a expressão completa para a diferença de pressão ar menos atmosfera fica:
P_{\text{ar}}-P_{\text{atm}} = \rho_{\text{água}} g \bigl(h_{\text{atm}}-h_{\text{w,left}}\bigr) +\rho_{\text{int}} g \bigl(h_{\text{w,int}}-h_{\text{ar}}\bigr) +\rho_{\mathrm{Hg}} g\,\Delta h_{\mathrm{Hg}},á
com
\Delta h_{\mathrm{Hg}}=(h_{\text{atm}}-h_{\text{w,left}})+(h_{\text{w,int}}-h_{\text{ar}}).
(Observação didática: essa fórmula é só a aplicação direta da lei \Delta P=\rho g\,\Delta h para cada trecho de fluido entre as superfícies livres conectadas pelo circuito.)

Passo 4

Substituição numérica passo a passo (faça isso na prova exatamente assim, sem calculadora se quiser aproximar):
  • Primeiro calcule as diferenças de altura (em metros):
h_{\text{atm}}-h_{\text{w,left}}=0{,}45-0{,}30=0{,}15\\ \mathrm{m},
h_{\text{w,int}}-h_{\text{ar}}=0{,}20-0{,}10=0{,}10\\ \mathrm{m},
\Delta h_{\mathrm{Hg}}=0{,}15+0{,}10=0{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Agora calcule cada termo (usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
\rho_{\text{água}} g (h_{\text{atm}}-h_{\text{w,left}}) =1000\cdot9{,}81\cdot0{,}15 =1000\cdot(9{,}81\cdot0{,}15) =1000\cdot1{,}4715 =1471{,}5\\ \mathrm{Pa}.á
\rho_{\text{int}} g (h_{\text{w,int}}-h_{\text{ar}}) =2400\cdot9{,}81\cdot0{,}10 =2400\cdot0{,}981 =2354{,}4\\ \mathrm{Pa}.
\rho_{\mathrm{Hg}} g\,\Delta h_{\mathrm{Hg}} =13600\cdot9{,}81\cdot0{,}25 =13600\cdot2{,}4525 =33360{,}0\\ \mathrm{Pa}.
  • Soma dos termos:
P_{\text{ar}}-P_{\text{atm}}= 1471{,}5+2354{,}4+33360{,}0 =37185{,}9\\ \mathrm{Pa}\approx3{,}7186\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Conversões e interpretação final (como apresentar a resposta em outras unidades):
  • Em kilopascais:
P_{\text{ar}}-P_{\text{atm}}\approx37{,}2\\ \mathrm{kPa}.
  • Em \mathrm{kgf/cm^{2}} (uso 1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=98066{,}5\\ \mathrm{Pa}):
P_{\text{ar}}-P_{\text{atm}}=\frac{37185{,}9}{98066{,}5}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}\approx0{,}379\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}\approx0{,}38\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.

Resposta

0{,}38\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}
37{,}2\\ \mathrm{kPa}

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