Prepare um gráfico mostrando a relação entre velocidade terminal e diâmetro da partícula para uma partícula esférica de densidade 2 em água a 65°C. Use diversos diâmetros entre 1 e
.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra gente montar um gráfico da velocidade terminal de queda de uma partícula esférica (densidade 2 g/cm³) em água a 65 °C, variando o diâmetro entre 1 µm e 1000 µm. Isso cai em Mecânica dos Fluidos, mais especificamente na parte de “queda de partículas” e “força de arraste”. Para resolver, vamos precisar de:
- Densidade da partícula (ρₚ = 2 g/cm³ = 2000 kg/m³)
- Densidade da água a 65 °C (ρ_f ≃ 978 kg/m³)
- Viscosidade dinâmica da água a 65 °C (μ ≃ 0,000405 Pa·s)
- Fórmula da velocidade terminal (Stokes e, se necessário, correção de Reynolds)
- Ferramenta pra plotar (por exemplo, Python + matplotlib)
Passo 2
Teoria básica: uma partícula em queda atinge velocidade constante (terminal) quando o peso líquido é igual à força de arraste. Para partículas muito pequenas (Reynolds < 1), vale a lei de Stokes:
onde
• = velocidade terminal (m/s)
• = diâmetro da partícula (m)
• = aceleração da gravidade (9,81 m/s²)
• ,
e
já definidos.
•
•
•
•
Passo 3
Verificando regimes: para diâmetros até uns 100–200 µm, Re ≪ 1 e a lei de Stokes serve direitinho. Para d maiores, o arraste não cresce tão rápido e precisamos usar um coeficiente de arraste
que depende de
. Mas, para simplificar este exercício, vamos assumir Stokes em toda a faixa (1–1000 µm). Isso dá um pouco de erro pra maiores, mas mostra bem a tendência
.
Passo 4
Transformando unidades e montando o vetor de diâmetros:
- Converter µm para m:
m (pode usar mais pontos, em escala log).
Passo 5
Aplicando a fórmula de Stokes em cada diâmetro:
Para cada ,
Para cada
É só computar isso num loop.
Passo 6
Plotando (exemplo em Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# dados
rho_p = 2000 # kg/m3
rho_f = 978 # kg/m3
mu = 0.000405 # Pa·s
g = 9.81 # m/s2
# diâmetros de 1 a 1000 µm em escala log
d = np.logspace(-6, -3, 100)
# velocidade terminal (Stokes)
vt = (rho_p - rho_f)*g*d**2/(18*mu)
# plot
plt.loglog(d*1e6, vt, '-o')
plt.xlabel('Diâmetro (µm)')
plt.ylabel('Velocidade terminal (m/s)')
plt.title('v_t vs. d para esfera (ρ_p=2g/cm³) em água a 65°C')
plt.grid(True, which='both', ls='--')
plt.show()
Passo 7
Interpretação do gráfico:
- Em escala log-log, a curva sai praticamente reta com inclinação ~2 (porque
). - Para d = 1 µm,
fica na casa de – m/s. - Para d = 1000 µm, chega a cerca de
m/s.
Resposta
O gráfico em escala log-log mostra que a velocidade terminal cresce quadraticamente com o diâmetro: de ~10⁻⁶ m/s (d = 1 µm) até ~10⁻¹ m/s (d = 1000 µm), confirmando a lei de Stokes.