Prepare um gráfico mostrando a relação entre velocidade terminal e diâmetro da partícula para uma partícula esférica de densidade 2 em água a 65°C. Use diversos diâmetros entre 1 e 1000 mu m.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente montar um gráfico da velocidade terminal de queda de uma partícula esférica (densidade 2 g/cm³) em água a 65 °C, variando o diâmetro entre 1 µm e 1000 µm. Isso cai em Mecânica dos Fluidos, mais especificamente na parte de “queda de partículas” e “força de arraste”. Para resolver, vamos precisar de:
  • Densidade da partícula (ρₚ = 2 g/cm³ = 2000 kg/m³)
  • Densidade da água a 65 °C (ρ_f ≃ 978 kg/m³)
  • Viscosidade dinâmica da água a 65 °C (μ ≃ 0,000405 Pa·s)
  • Fórmula da velocidade terminal (Stokes e, se necessário, correção de Reynolds)
  • Ferramenta pra plotar (por exemplo, Python + matplotlib)

Passo 2

Teoria básica: uma partícula em queda atinge velocidade constante (terminal) quando o peso líquido é igual à força de arraste. Para partículas muito pequenas (Reynolds < 1), vale a lei de Stokes:
vt = (rhop - rhof),g,d^218,mu
onde
= velocidade terminal (m/s)
= diâmetro da partícula (m)
= aceleração da gravidade (9,81 m/s²)
, e já definidos.

Passo 3

Verificando regimes: para diâmetros até uns 100–200 µm, Re ≪ 1 e a lei de Stokes serve direitinho. Para d maiores, o arraste não cresce tão rápido e precisamos usar um coeficiente de arraste que depende de . Mas, para simplificar este exercício, vamos assumir Stokes em toda a faixa (1–1000 µm). Isso dá um pouco de erro pra maiores, mas mostra bem a tendência .

Passo 4

Transformando unidades e montando o vetor de diâmetros:
  • Converter µm para m: m (pode usar mais pontos, em escala log).

Passo 5

Aplicando a fórmula de Stokes em cada diâmetro:
Para cada vt,i = (2000 - 978)times 9,81 times di^218 times 0,000405 ,
É só computar isso num loop.

Passo 6

Plotando (exemplo em Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# dados
rho_p = 2000       # kg/m3
rho_f = 978        # kg/m3
mu    = 0.000405   # Pa·s
g     = 9.81       # m/s2

# diâmetros de 1 a 1000 µm em escala log
d = np.logspace(-6, -3, 100)  

# velocidade terminal (Stokes)
vt = (rho_p - rho_f)*g*d**2/(18*mu)

# plot
plt.loglog(d*1e6, vt, '-o')
plt.xlabel('Diâmetro (µm)')
plt.ylabel('Velocidade terminal (m/s)')
plt.title('v_t vs. d para esfera (ρ_p=2g/cm³) em água a 65°C')
plt.grid(True, which='both', ls='--')
plt.show()

Passo 7

Interpretação do gráfico:
  • Em escala log-log, a curva sai praticamente reta com inclinação ~2 (porque ).
  • Para d = 1 µm, fica na casa de m/s.
  • Para d = 1000 µm, chega a cerca de m/s.

Resposta

O gráfico em escala log-log mostra que a velocidade terminal cresce quadraticamente com o diâmetro: de ~10⁻⁶ m/s (d = 1 µm) até ~10⁻¹ m/s (d = 1000 µm), confirmando a lei de Stokes.

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