A presença de um catalisador permite um caminho de reação no qual a energia de ativação de um certa reação é reduzida de 88 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1} para 53 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}.
Por qual fator aumentaria a velocidade da reação, se ela fosse conduzida a 400 K ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Por qual fator aumentaria a velocidade da reação se a energia de ativação caísse de 88\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1} para 53\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1} à temperatura 400\\ \mathrm{K}?”
Dados relevantes fornecidos:
\;E_{a,\text{sem catalisador}} = 88\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}
\;E_{a,\text{com catalisador}} = 53\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}
\;T = 400\\ \mathrm{K}

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): a dependência da constante de velocidade com a temperatura e com a energia de ativação é dada pela equação de Arrhenius. Essa equação diz que a constante de velocidade k depende de dois fatores: um fator pré-exponencial A (que depende de colisões e orientação das moléculas) e um fator exponencial que contém a energia de ativação E_a. A fórmula é
k = A \exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R T}\right).
Aqui:
  • k é a constante de velocidade (relacionada à rapidez da reação).
  • A é o fator pré-exponencial (ou frequência eficaz de colisões).
  • E_a é a energia de ativação (em joules por mol).
  • R é a constante universal dos gases (valerá 8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}).
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.

Passo 3

Comparação entre com/sem catalisador (dedução passo a passo): se assumirmos que o fator pré-exponencial A não muda significativamente ao introduzir o catalisador (hipótese usual quando comparamos somente o efeito de E_a), o fator de aumento da velocidade é a razão
\frac{k_{\text{cat}}}{k_{\text{sem}}} = \frac{A\exp\!\left(-\dfrac{E_{a,\text{cat}}}{R T}\right)}{A\exp\!\left(-\dfrac{E_{a,\text{sem}}}{R T}\right)} = \exp\!\left(\dfrac{E_{a,\text{sem}}-E_{a,\text{cat}}}{R T}\right).
Portanto, só precisamos da diferença de energias dividida por R T e aplicar a exponencial.

Passo 4

Conversão de unidades e cálculo da diferença de energias: as energias foram dadas em \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1}, e na fórmula de Arrhenius usamos R em \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}, então convertemos para joules por mol:
E_{a,\text{sem}} = 88\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1} = 88\,000\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1},
E_{a,\text{cat}} = 53\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{mol}^{-1} = 53\,000\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.
Diferença:
\Delta E_a = E_{a,\text{sem}} - E_{a,\text{cat}} = 88\,000 - 53\,000 = 35\,000\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 5

Cálculo do expoente: usamos R = 8{,}314\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1} e T = 400\\ \mathrm{K}. Primeiro calculamos o produto R T:
R T = 8{,}314 \times 400 = 3\,325{,}6\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}.
Agora o quociente:
\dfrac{\Delta E_a}{R T} = \dfrac{35\,000}{3\,325{,}6} \approx 10{,}526.

Passo 6

Avaliação da exponencial (passo a passo numérico): precisamos de
\exp\!\left(\dfrac{\Delta E_a}{R T}\right) = \exp(10{,}526).
Uma forma prática de estimar é decompor: \exp(10{,}526)=\exp(10)\exp(0{,}526). Sabendo que \exp(10)\approx 2{,}2026\times10^{4} e \exp(0{,}526)\approx 1{,}692, multiplicamos:
\exp(10{,}526)\approx 2{,}2026\times10^{4}\times 1{,}692 \approx 3{,}728\times10^{4}.
Arredondando razoavelmente, o fator de aumento da velocidade é aproximadamente 3,73\times10^{4}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: isso significa que, mantendo as outras condições iguais e assumindo que A não muda muito, a reação ficaria cerca de 37{,}000 vezes mais rápida a 400\\ \mathrm{K} com o catalisador — um aumento enorme! Se estiver nervoso para a prova, lembra que o passo-chave é usar Arrhenius, converter unidades e calcular a razão exponencial. Você consegue!

Resposta

3,73\times10^{4}

Exercícios relacionados