Ar à pressão atmosférica, com temperatura de 15,5^{\circ} \mathrm{C} e entalpia específica h_{1}=290 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} entra em um compressor com velocidade desprezível. O ar é descarregado a 345 kPa (absoluta), com entalpia específica h_{2}=310 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1}, através de um tubo com área transversal de 0,1 \mathrm{~m}^{2}. A vazão em massa é 9 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1} e a potência de eixo fornecida ao compressor é 450 kW . Sabendo que as alturas da entrada e da saída são iguais, determine a taxa de transferência de calor. Considerando que o calor específico do ar à pressão constante é c_{p}=1,005 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}, determine a temperatura em que o ar sai do compressor. Assuma R=0,287 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}
Dica: Lembre que, para gases ideais, \rho=p / R T e \Delta h=c_{p} \Delta T.

Passo 1

O que o enunciado dá (valores que usarei; peguei exatamente do enunciado):
  • Vazão mássica: \dot m = 9\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.
  • Área da saída: A = 0,1\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Entrada: T_1 = 15,5^\circ\mathrm{C} (vou converter para kelvin), h_1 = 290\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
  • Saída: p_2 = 345\\ \mathrm{kPa} (absoluta), h_2 = 310\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
  • Potência de eixo fornecida ao compressor (trabalho de eixo): \dot W_{\text{in}} = 450\\ \mathrm{kW} (potência fornecida ao fluido).
  • Alturas de entrada e saída iguais (logo variação de energia potencial nula).
  • Velocidade na entrada desprezível (logo V_1\approx 0).
  • Constantes do ar: c_p = 1,005\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}} e R = 0,287\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a taxa de transferência de calor \dot Q (kW).
  2. Determinar a temperatura de saída do ar T_2.

Passo 2

Apresentando a equação de energia em regime estacionário (controle que envolve o compressor). Vou explicar cada termo antes de aplicar:
  • \dot Q é a taxa de calor transferida para o controle (positivo para calor entrando no fluido).
  • \dot W_{\text{in}} é a potência de eixo fornecida ao fluido (positivo se energia é fornecida ao fluido).
  • \dot m é a vazão mássica.
  • h é a entalpia específica do fluido ( \mathrm{kJ\,kg^{-1}}).
  • V é a velocidade (magnitude) do escoamento (m,s^{-1}); a energia cinética específica é V^2/2 (J,kg^{-1}).
  • z é a altura; energia potencial específica g z (J,kg^{-1}). Como alturas iguais, essa parte some.
A equação de balanço energético (forma clara) é:
\dot Q + \dot W_{\text{in}} + \dot m\left(h_1 + \frac{V_1^2}{2}+g z_1\right) = \dot m\left(h_2 + \frac{V_2^2}{2}+g z_2\right).
Rearranjando para \dot Q (o que queremos):
\dot Q = \dot m\left(h_2-h_1+\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(z_2-z_1)\right) - \dot W_{\text{in}}.

Passo 3

Simplificações que o enunciado permite:
  • As alturas são iguais, então g(z_2-z_1)=0.
  • A velocidade na entrada é desprezível, então V_1\approx 0.
    Com isso:
\dot Q = \dot m\left(h_2-h_1+\frac{V_2^2}{2}\right) - \dot W_{\text{in}}.
Vou calcular cada termo: \dot m(h_2-h_1) e \dot m V_2^2/2. Para obter V_2 preciso da densidade \rho_2 na saída; para \rho_2 preciso de T_2. Vou obter T_2 a partir da relação para gás ideal \Delta h = c_p \Delta T (valeu a dica do enunciado).

Passo 4

Usando \Delta h = c_p \Delta T para achar T_2.
  • Converter T_1 para kelvin:
T_1 = 15,5^\circ\mathrm{C} = 15,5 + 273,15 = 288,65\\ \mathrm{K}.
  • A diferença de entalpia:
\Delta h = h_2-h_1 = 310 - 290 = 20\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
  • Logo a variação de temperatura:
\Delta T = \frac{\Delta h}{c_p} = \frac{20}{1,005} = 19,9005\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura de saída:
T_2 = T_1 + \Delta T = 288,65 + 19,9005 = 308,5505\\ \mathrm{K}.
Arredondando sensatamente: T_2 \approx 308,55\\ \mathrm{K}, que em Celsius é T_2 \approx 35,40^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a densidade na saída usando a equação dos gases ideais (peguei p_2 do enunciado e o T_2 calculado no passo anterior):
A equação é:
\rho_2 = \frac{p_2}{R T_2}.
Substituindo:
\rho_2 = \frac{345}{0,287\cdot 308,5505} = \frac{345}{88,056} \approx 3,915\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
(obs.: pressão em \mathrm{kPa}, R em \mathrm{kJ\,kg^{-1}\,K^{-1}} e T em \mathrm{K} são consistentes para dar \mathrm{kg\,m^{-3}}.)

Passo 6

Usando continuidade para achar a velocidade de saída V_2. A relação é:
\dot m = \rho_2 A V_2 \quad\Rightarrow\quad V_2 = \frac{\dot m}{\rho_2 A}.
Substituindo números:
V_2 = \frac{9}{3,915\cdot 0,1} = \frac{9}{0,3915} \approx 22,99\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 7

Calcular o termo de energia cinética por unidade de massa e por unidade de tempo:
  • Energia cinética específica na saída:
\frac{V_2^2}{2} = \frac{22,99^2}{2} = \frac{528,6}{2} = 264,3\\ \mathrm{J\,kg^{-1}} = 0,2643\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
  • Multiplicando pela vazão mássica (para ter kW):
\dot m\cdot\frac{V_2^2}{2} = 9\cdot 0,2643 \approx 2,379\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Agora monto os termos da expressão final de \dot Q:
  • Termo de entalpia: \dot m(h_2-h_1) = 9\cdot 20 = 180\\ \mathrm{kW}.
  • Termo cinético: \dot m(V_2^2/2) \approx 2,379\\ \mathrm{kW}.
  • Potência de eixo fornecida: \dot W_{\text{in}} = 450\\ \mathrm{kW}.
Substituindo em
\dot Q = \dot m(h_2-h_1) + \dot m\frac{V_2^2}{2} - \dot W_{\text{in}},
temos
\dot Q = 180 + 2,379 - 450 = -267,621\\ \mathrm{kW}.
Arredondando com três algarismos significativos: \dot Q \approx -267,62\\ \mathrm{kW}.
Interpretação do sinal: \dot Q negativo indica que, no balanço adotado (positivo para calor entrando no fluido), há, no total, transferência de calor do fluido para o ambiente — ou seja, o compressor libera calor ao redor a uma taxa de cerca de 267,6\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Resumo numérico (valores obtidos e úteis para conferência):
  • Temperatura de saída: T_2 \approx 308,55\\ \mathrm{K} (ou 35,40^\circ\mathrm{C}).
  • Velocidade de saída: V_2 \approx 22,99\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Densidade de saída: \rho_2 \approx 3,915\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Taxa de calor: \dot Q \approx -267,62\\ \mathrm{kW}.

Resposta

\dot Q = -267,62\\ \mathrm{kW}
T_2 = 308,55\\ \mathrm{K}

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