Ar escoa em regime permanente e com baixa velocidade através de um bocal horizontal que descarrega um jato para a atmosfera. Linhas de corrente são formadas. Na entrada do bocal, a área é 0,1 \mathrm{~m}^{2} enquanto na saída, 0,01 \mathrm{~m}^{2}. Determine a pressão manométrica na entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída de 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Considere a densidade do ar \rho=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Dica: para escoamentos com número de Mach M=U / c_{0} inferior à 0,3 , o escoamento pode ser considerado incompressível.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os valores abaixo foram retirados do enunciado).
  • Área na entrada do bocal: A_{\text{in}} = 0,1\\ \mathrm{m}^2.
  • Área na saída do bocal: A_{\text{out}} = 0,01\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade de saída desejada: U_{\text{out}} = 10\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Densidade do ar: \rho = 1,2\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}.
  • O jato descarrega para a atmosfera, então a pressão na saída é a pressão atmosférica: p_{\text{out}} = p_{\text{atm}}.
O que o problema pede:
  • Determinar a pressão manométrica na entrada do bocal, ou seja, p_{\text{man}} = p_{\text{in}} - p_{\text{atm}}, necessária para produzir U_{\text{out}} = 10\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.

Passo 2

Verificação da hipótese de incompressibilidade dada na dica (usada para justificar Bernoulli incompressível). Calcular o número de Mach associado à velocidade de saída. A velocidade do som no ar à temperatura ambiente é aproximadamente c_0 \approx 343\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}. Assim
M = \frac{U_{\text{out}}}{c_0} = \frac{10}{343} \approx 0,029.
Como M < 0,3, o escoamento pode ser considerado incompressível, logo é consistente usar a equação da continuidade para incompressíveis e a equação de Bernoulli incompressível.

Passo 3

Aplicar a conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento estacionário e incompressível em seção transversal uniforme:
A_{\text{in}}\,U_{\text{in}} = A_{\text{out}}\,U_{\text{out}}.
Resolver para U_{\text{in}}:
U_{\text{in}} = \frac{A_{\text{out}}}{A_{\text{in}}}\,U_{\text{out}}.
Substituindo os valores dados:
U_{\text{in}} = \frac{0,01}{0,1}\cdot 10 = 0,1\cdot 10 = 1\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
Interpretação rápida: como a área de saída é 10 vezes menor que a de entrada, a velocidade de saída é 10 vezes maior que a da entrada.

Passo 4

Apresentar e explicar a equação que será usada para relacionar pressões e velocidades.
A equação de Bernoulli para escoamento incompressível, estacionário e ao longo de uma linha de corrente (ignorando perdas por atrito e diferença de altura porque o bocal é horizontal) é:
p + \tfrac{1}{2}\rho U^2 = \text{constante ao longo da linha de corrente}.
Aqui:
  • p é a pressão estática no ponto considerado (em Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg\\ m^{-3}}),
  • U é a velocidade do fluido no ponto (em \mathrm{m\\ s^{-1}}).
Aplicando Bernoulli entre a entrada (subíndice \text{in}) e a saída (subíndice \text{out}), e como ambos estão à mesma altura:
p_{\text{in}} + \tfrac{1}{2}\rho U_{\text{in}}^{2} = p_{\text{out}} + \tfrac{1}{2}\rho U_{\text{out}}^{2}.
Queremos a pressão manométrica na entrada:
p_{\text{man}} = p_{\text{in}} - p_{\text{atm}}.
Como p_{\text{out}} = p_{\text{atm}}, subtrair p_{\text{atm}} de ambos os lados dá:
p_{\text{man}} = \tfrac{1}{2}\rho\left(U_{\text{out}}^{2} - U_{\text{in}}^{2}\right).
Essa fórmula diz, em palavras amistosas: a pressão acima da atmosférica que é necessária na entrada é exatamente a diferença de energia cinética por volume entre saída e entrada.

Passo 5

Calcular numericamente p_{\text{man}} usando os valores já obtidos.
Primeiro calcule os quadrados das velocidades:
U_{\text{out}}^{2} = 10^{2} = 100\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}}, \qquad U_{\text{in}}^{2} = 1^{2} = 1\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}}.
Aplicando na fórmula:
p_{\text{man}} = \tfrac{1}{2}\cdot 1,2\cdot (100 - 1) = 0,6\cdot 99 = 59,4\\ \mathrm{Pa}.
Unidade: 1,2\\ \mathrm{kg\\ m^{-3}}\times \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}} = \mathrm{kg\\ m^{-1}\\ s^{-2}} = \mathrm{Pa}, consistente.

Passo 6

Interpretação final e checagens rápidas:
  • O resultado p_{\text{man}} = 59,4\\ \mathrm{Pa} é uma pressão relativamente pequena (≈0,00059 atm), coerente com velocidades baixas do fluido.
  • Verificou-se a validade da hipótese de incompressibilidade pelo número de Mach.
  • Não foram consideradas perdas por atrito ou contrações/expansões reais no bocal; se essas perdas fossem relevantes, a pressão necessária seria maior. Para um exercício idealizado (como o pedido), a conta acima é a correta.
Força para a prova — você já está no caminho certo!

Resposta

59,4\\ \mathrm{Pa}

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