Ar escoa em regime permanente e com baixa velocidade através de um bocal horizontal que descarrega um jato para a atmosfera. Linhas de corrente são formadas. Na entrada do bocal, a área é
enquanto na saída,
. Determine a pressão manométrica na entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída de
. Considere a densidade do ar
.
Dica: para escoamentos com número de Mach
inferior à 0,3 , o escoamento pode ser considerado incompressível.
Dica: para escoamentos com número de Mach
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os valores abaixo foram retirados do enunciado).
- Área na entrada do bocal:
. - Área na saída do bocal:
. - Velocidade de saída desejada:
. - Densidade do ar:
. - O jato descarrega para a atmosfera, então a pressão na saída é a pressão atmosférica:
.
O que o problema pede:
- Determinar a pressão manométrica na entrada do bocal, ou seja,
, necessária para produzir .
Passo 2
Verificação da hipótese de incompressibilidade dada na dica (usada para justificar Bernoulli incompressível). Calcular o número de Mach associado à velocidade de saída. A velocidade do som no ar à temperatura ambiente é aproximadamente
. Assim
Como
, o escoamento pode ser considerado incompressível, logo é consistente usar a equação da continuidade para incompressíveis e a equação de Bernoulli incompressível.
Passo 3
Aplicar a conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento estacionário e incompressível em seção transversal uniforme:
Resolver para
:
Substituindo os valores dados:
Interpretação rápida: como a área de saída é 10 vezes menor que a de entrada, a velocidade de saída é 10 vezes maior que a da entrada.
Passo 4
Apresentar e explicar a equação que será usada para relacionar pressões e velocidades.
A equação de Bernoulli para escoamento incompressível, estacionário e ao longo de uma linha de corrente (ignorando perdas por atrito e diferença de altura porque o bocal é horizontal) é:
Aqui:
-
é a pressão estática no ponto considerado (em Pa), -
é a densidade do fluido (em ), -
é a velocidade do fluido no ponto (em ).
Aplicando Bernoulli entre a entrada (subíndice
) e a saída (subíndice
), e como ambos estão à mesma altura:
Queremos a pressão manométrica na entrada:
Como
, subtrair
de ambos os lados dá:
Essa fórmula diz, em palavras amistosas: a pressão acima da atmosférica que é necessária na entrada é exatamente a diferença de energia cinética por volume entre saída e entrada.
Passo 5
Calcular numericamente
usando os valores já obtidos.
Primeiro calcule os quadrados das velocidades:
Primeiro calcule os quadrados das velocidades:
Aplicando na fórmula:
Unidade:
, consistente.
Passo 6
Interpretação final e checagens rápidas:
- O resultado
é uma pressão relativamente pequena (≈0,00059 atm), coerente com velocidades baixas do fluido. - Verificou-se a validade da hipótese de incompressibilidade pelo número de Mach.
- Não foram consideradas perdas por atrito ou contrações/expansões reais no bocal; se essas perdas fossem relevantes, a pressão necessária seria maior. Para um exercício idealizado (como o pedido), a conta acima é a correta.
Força para a prova — você já está no caminho certo!