Vapor d’água escoa em regime permanente através de uma turbina. Na entrada, localizada à z_{1}=50 \mathrm{~m} do chão, a entalpia do vapor é h_{1}=4000 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} e a velocidade (uniforme) é de V_{1}=100 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Ao passar pela turbina, o vapor gera um trabalho de eixo a uma taxa de \dot{W}_{\mathrm{s}}=2,45 \mathrm{MW}, perdendo calor para o meio à uma taxa de \dot{Q}=350 \mathrm{~kW}. O vapor é então descarregado a uma velocidade de V_{2}=90 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, em um bocal à z_{2}=10 \mathrm{~m} do chão, com entalpia de h_{2}=2600 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1}. Determine a vazão mássica dessa turbina.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a vazão mássica da turbina, a partir das informações fornecidas. Os dados do problema (retirados do enunciado) são:
  • Alturas: \,z_{1}=50\\ \mathrm{m}, \,z_{2}=10\\ \mathrm{m}.
  • Entalpias: \,h_{1}=4000\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}, \,h_{2}=2600\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}.
  • Velocidades uniformes: \,V_{1}=100\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}, \,V_{2}=90\\ \mathrm{m\\ s^{-1}}.
  • Potência de eixo gerada pela turbina (trabalho útil): \,\dot{W}_{s}=2{,}45\\ \mathrm{MW}.
  • Calor perdido para o meio: \,\dot{Q}=350\\ \mathrm{kW} (o enunciado diz que o vapor perde calor para o meio).
  • Deseja-se a vazão mássica \,\dot{m} (em \mathrm{kg\\ s^{-1}}).

Passo 2

Vamos usar a conservação de energia para escoamento permanente (balanço energético do volume de controle com uma entrada e uma saída). A forma conveniente da equação energética é:
\dot{Q}-\dot{W}_{s}=\dot{m}\left(h_{2}-h_{1}+\frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}+g\,(z_{2}-z_{1})\right).
Explicando cada termo de forma didática:
  • \dot{Q} é a taxa de calor transferida para o volume de controle (positiva se entra no sistema). No enunciado o fluido “perde calor para o meio”, isto é, o calor sai do fluido; portanto, tomamos \dot{Q} como negativo quando inserido na equação (ver passo de unidades).
  • \dot{W}_{s} é a potência de eixo entregue pelo fluido à turbina (positiva quando o fluido realiza trabalho no eixo). No enunciado a turbina gera \dot{W}_{s}=2{,}45\\ \mathrm{MW}, então este termo é positivo na equação da forma escrita.
  • O lado direito é \dot{m} multiplicando a soma das variações por unidade de massa de energia interna útil: variação de entalpia (h_{2}-h_{1}), variação de energia cinética por unidade de massa \left(\dfrac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}\right) e variação de energia potencial por unidade de massa (g(z_{2}-z_{1})).
  • Importante sobre unidades: h está em \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}. Para que tudo seja consistente, as contribuições de energia cinética e potencial devem ser também convertidas para \mathrm{kJ\\ kg^{-1}} (1 \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}=1000\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}}). As potências \dot{Q},\dot{W}_{s} serão usadas em \mathrm{kW} (ou \mathrm{kJ\\ s^{-1}}), então o produto \dot{m}\cdot(\cdots) dará \mathrm{kW}.

Passo 3

Colocar os valores numéricos com cuidado nas unidades:
  • Converter \dot{W}_{s} para \mathrm{kW}:
\dot{W}_{s}=2{,}45\\ \mathrm{MW}=2450\\ \mathrm{kW}.
  • O calor é perdido do fluido para o meio; assim \dot{Q} (positivo entrando) vale
\dot{Q}=-350\\ \mathrm{kW}.
(ou seja, 350 kW saem do fluido).
  • A constante da gravidade: use g=9{,}81\\ \mathrm{m\\ s^{-2}}.

Passo 4

Calcular termosa unitários da energia (todos em \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}):
  1. Variação de entalpia:
h_{2}-h_{1}=2600-4000=-1400\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}.
  1. Variação de energia cinética por unidade de massa:
    Primeiro calcule \dfrac{V^{2}}{2} em \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}} e converta para \mathrm{kJ\\ kg^{-1}} dividindo por 1000:
\frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}=\frac{90^{2}-100^{2}}{2}=\frac{8100-10000}{2}=\frac{-1900}{2}=-950\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}:
\frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}=-\frac{950}{1000}=-0{,}95\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}.
  1. Variação de energia potencial por unidade de massa:
g(z_{2}-z_{1})=9{,}81\cdot(10-50)=9{,}81\cdot(-40)=-392{,}4\\ \mathrm{m^{2}\\ s^{-2}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}:
g(z_{2}-z_{1})=-\frac{392{,}4}{1000}=-0{,}3924\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}.
  1. Somando as variações por unidade de massa:
\Delta e = h_{2}-h_{1}+\frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}+g(z_{2}-z_{1})
\Delta e = -1400 -0{,}95 -0{,}3924 = -1401{,}3424\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}.

Passo 5

Calcular o termo à esquerda \dot{Q}-\dot{W}_{s} em \mathrm{kW}:
\dot{Q}-\dot{W}_{s} = (-350)\\\ -\\\ 2450 = -2800\\ \mathrm{kW}.
Observação física rápida: o membro esquerdo negativo indica que, no total, o fluido perdeu energia (saíram energia como trabalho e como calor).

Passo 6

Isolar \dot{m} pela equação do Passo 2:
\dot{m}=\frac{\dot{Q}-\dot{W}_{s}}{\,h_{2}-h_{1}+\dfrac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}+g(z_{2}-z_{1})\,}.
Substituindo os valores numéricos encontrados:
\dot{m}=\frac{-2800}{-1401{,}3424}\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
Fazendo a divisão:
\dot{m}\approx 1{,}998\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.
Arredondando sensivelmente (dados com três algarismos significativos) obtemos:
\dot{m}\approx 2{,}00\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: \dot{m} é positiva e da ordem de alguns \mathrm{kg\\ s^{-1}}, o que faz sentido para uma turbina de potência da ordem de megawatts com entalpias em milhares de \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}. Pequenas diferenças nas velocidades e alturas têm contribuição pequena (ver passos de conversão), por isso a entalpia domina o balanço.

Resposta

\dot{m}=2{,}00\\ \mathrm{kg\\ s^{-1}}

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