Questão adicional — Esterilização de ar por filtração e construção gráfica
Valor: até \mathbf{1 , 0} ponto adicional
Um biorreator aeróbio será operado por 60 h com alimentação contínua de ar. A esterilização do ar será feita por filtração antes da entrada no biorreator.
O volume útil do biorreator é de 100 L , e a operação será dividida em três etapas:
Etapa
Tempo de operação (h)
Vazão de ar (vvm)
Contaminação média do ar ( \mathrm{mo} / \mathrm{m}^{3} )
I
10
0,5
2,0 \times 10^{3}
II
30
1,4
5,0 \times 10^{3}
III
20
0,9
3,0 \times 10^{3}
O critério de esterilização adotado é que o número esperado de microrganismos viáveis que atravessa o sistema de filtração durante toda a batelada seja menor ou igual a \mathrm{N} \leq 0,01 .
O sistema de filtração pode ser montado com 1, 2 ou 3 filtros idênticos em paralelo. Quando há filtros em paralelo, a vazão de ar se divide igualmente entre eles.
em que:
No é o número total de microrganismos que chegam ao sistema de filtração;
N é o número esperado de microrganismos que atravessa o sistema;
L é a espessura do meio filtrante, em cm; \mathrm{k}_{\mathrm{ef}} é o coeficiente efetivo de retenção, \mathrm{em} \mathrm{cm}^{-1}.
O coeficiente efetivo depende da vazão que passa em cada filtro:
k_{e f}=4,2-0,006 \cdot Q_{f}
em que \mathrm{Q}_{\mathrm{f}} é a vazão máxima de ar por filtro, em L/min.
A perda de carga em cada filtro é estimada por:
em que \Delta \mathrm{P} é dada em kPa , Qf é a vazão máxima por filtro em \mathrm{L} / min e L é a espessura do filtro em cm.
O soprador disponível suporta, no máximo, \Delta \mathrm{Pmáx}=14 \mathrm{kPa}.
Pede-se
a) Calcule o volume total de ar utilizado em cada etapa e durante toda a batelada. (0,15)
b) Calcule o número total de microrganismos que chega ao sistema de filtração durante toda a operação. (0,15)
c) Determine a vazão máxima total de ar do processo e a vazão máxima por filtro para as configurações com 1, 2 e 3 filtros em paralelo. (0,10)
d) Calcule o valor de kef para cada configuração: 1, 2 e 3 filtros em paralelo. (0,10)
e) Construa manualmente, em papel milimetrado, a curva de esterilização do ar para as três configurações. Use no eixo x a espessura \mathrm{L}(\mathrm{cm}) e no eixo y \log _{10}(\mathrm{~N}), em que N é o número esperado de microrganismos que atravessa o sistema durante a batelada. No gráfico, indique também a linha horizontal correspondente ao critério \mathrm{N}=0,01, isto é, \log _{10}(N)=-2 .(0,25)
f) A partir do gráfico, estime a espessura mínima necessária para cada configuração atender ao critério microbiológico. (0,10)
g) Para cada configuração, verifique se a espessura mínima estimada atende ao limite de perda de carga do soprador. (0,15)
h) Escolha a melhor configuração técnica e justifique sua resposta. (0,10)
Para a construção do gráfico, utilize os seguintes valores de espessura:
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Valores de L(cm) a serem usados no gráfico
Orientações para a resposta
Apresente os cálculos com unidades.
Monte a tabela com os valores usados para construir o gráfico.
Construa o gráfico manualmente, preferencialmente em papel milimetrado.
Indique visualmente no gráfico a linha de critério \log _{10}(N)=-2.
Faça a leitura ou interpolação da espessura mínima no próprio gráfico.
Verifique a perda de carga para cada configuração analisada.
Justifique tecnicamente a configuração escolhida.
Atenção: respostas apenas numéricas, sem gráfico ou sem interpretação técnica, não receberão pontuação integral.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
Volume útil do biorreator: V_{\text{reator}}=100\\ \text{L}.
A operação tem três etapas:
Etapa I: tempo t_{1}=10\\ \text{h}, vazão aerada 0,5\\ \text{vvm}, contaminação média 2{,}0\times10^{3}\\ \text{mo}/\text{m}^{3}.
Etapa II: tempo t_{2}=30\\ \text{h}, vazão aerada 1{,}4\\ \text{vvm}, contaminação média 5{,}0\times10^{3}\\ \text{mo}/\text{m}^{3}.
Etapa III: tempo t_{3}=20\\ \text{h}, vazão aerada 0,9\\ \text{vvm}, contaminação média 3{,}0\times10^{3}\\ \text{mo}/\text{m}^{3}.
Critério microbiológico: número esperado que atravessa o sistema durante toda a batelada \,N\le 0{,}01.
Fórmula retenção:N = N_{o}\,\mathrm{e}^{-k_{ef}\,L},onde N_{o} = número total de microrganismos que chegam ao sistema de filtração, L em cm, k_{ef} em \text{cm}^{-1}.
Coeficiente efetivo:k_{ef}=4{,}2-0{,}006\cdot Q_{f},com Q_{f} = vazão por filtro em \text{L}/\min.
Perda de carga por filtro:\Delta P=(0{,}035\cdot Q_{f}+0{,}10)\cdot L+0{,}16\cdot L^{2},com \Delta P em kPa, L em cm, Q_{f} em \text{L}/\min.
Soprador máximo: \Delta P_{\max}=14\\ \text{kPa}.
O sistema pode ter 1, 2 ou 3 filtros idênticos em paralelo; quando em paralelo a vazão total divide igualmente entre os filtros.
O que o enunciado pede (resumido por itens):
a) Volume total de ar usado em cada etapa e na batelada.
b) Número total de microrganismos que chegam ao sistema de filtração durante toda a operação (N_{o}).
c) Vazão máxima total do processo e vazão por filtro para configurações com 1, 2 e 3 filtros (usar a vazão máxima do processo).
d) Calcular k_{ef} para cada configuração (1, 2, 3 filtros).
e) Construir tabela/curva de esterilização: para os valores de L=\{3{,}5;4{,}0;4{,}5;5{,}0;5{,}5;6{,}0\} calcular N e \log_{10}(N) para cada configuração (a plotagem manual ficará no papel milimetrado). Indicar também a linha \log_{10}(N)=-2.
f) A partir do gráfico (ou dos cálculos), estimar L_{\min} necessário para cada configuração para atender N\le0{,}01.
g) Verificar se L_{\min} satisfaz o limite de perda de carga do soprador para cada configuração.
h) Escolher a melhor configuração tecnicamente e justificar.
Observação final antes de resolver: o termo vvm aqui é interpretado como volume de ar por volume de cultivo por minuto (unidade usual: volumes do ar por volume do líquido por minuto), então a vazão total instantânea em \text{L}/\min é \,Q_{\text{total}}=\text{vvm}\times V_{\text{reator}} (com V_{\text{reator}} em L). Essa interpretação será usada nos cálculos.
Passo 2
(a) Calcular o volume total de ar usado em cada etapa e na batelada.
Método e unidades (aula curta):
Se Q_{\text{total}}= vazão instantânea em \text{L}/\min, o volume total usado numa etapa de duração t (em horas) éV_{\text{etapa}}=Q_{\text{total}}\cdot(t\\ \text{em min}) = Q_{\text{total}}\cdot(60\cdot t)\\ \text{L}.
Para converter para \text{m}^{3}, usar 1\\ \text{m}^{3}=1000\\ \text{L}.
(Resumo: N_{o}=1{,}644\times10^{6} microrganismos chegam ao sistema durante a batelada.)
Passo 4
(c) Determinar a vazão máxima total do processo e a vazão por filtro para 1, 2 e 3 filtros.
Explicação rápida: a vazão máxima do processo é a maior vazão instantânea usada nas etapas — isto é a vazão correspondente ao maior valor de vvm. Observando as etapas, a maior vvm é 1{,}4 (Etapa II), portanto a vazão máxima instantânea é:
Q_{\text{total,max}}=Q_{2}=140\\ \text{L}/\min.
Se houver n filtros em paralelo, cada filtro recebe igualmente:
Q_{f}=\frac{Q_{\text{total,max}}}{n}.
Assim:
Para n=1: Q_{f,1}=140\\ \text{L}/\min.
Para n=2: Q_{f,2}=70\\ \text{L}/\min.
Para n=3: Q_{f,3}=\dfrac{140}{3}\approx46{,}6667\\ \text{L}/\min.
Passo 5
(d) Calcular k_{ef} para cada configuração (1, 2 e 3 filtros).
(Comentário didático: quanto menor a vazão por filtro, maior o k_{ef} — isto é, melhor eficiência por unidade de espessura.)
Passo 6
(e) Montar a tabela com os valores usados para construir o gráfico: para cada L dos indicados calcular N=N_{o}\,\mathrm{e}^{-k_{ef}L} e \log_{10}(N) para as três configurações.
Método lembrete: para cada configuração usar o mesmo N_{o}=1{,}644\times10^{6}, mas k_{ef} diferente (porque depende de Q_{f}). Na plotagem usar eixo x: L (cm) e eixo y: \log_{10}(N). A linha de critério é \log_{10}(N)=-2 (pois N=0{,}01).
Tabela com cálculos (valores arredondados com 3 alg. significativos quando apropriado):
Valores usados: L em \{3{,}5;\\\ 4{,}0;\\\ 4{,}5;\\\ 5{,}0;\\\ 5{,}5;\\\ 6{,}0\} cm.
Cálculos numéricos (mostrando cada coluna: L, N e \log_{10}(N)).
No eixo x coloque L em cm (3{,}5 a 6{,}0). No eixo y coloque \log_{10}(N) cobrindo, por exemplo, de +1{,}5 até -4 (para ver todas as curvas).
Trace três curvas (cada configuração com seus pontos) e ligue os pontos suavemente (curvas decrescentes exponenciais transformam-se em retas aproximadamente lineares em semilog).
Plote a linha horizontal \log_{10}(N)=-2 para marcar o critério N=0{,}01.
Passo 7
(f) A partir do gráfico ou dos cálculos, estimar a espessura mínima L_{\min} necessária para cada configuração atender ao critério N\le0{,}01.
Melhor método (preciso): resolver analiticamente a igualdade
Comparação: 12{,}086\\ \text{kPa}\le14\\ \text{kPa} → atende ao limite do soprador.
Conclusão deste passo: apenas a configuração com 3 filtros em paralelo, usando a espessura mínima calculada, fica dentro do limite de perda de carga do soprador.
Passo 9
(h) Escolha da melhor configuração técnica e justificativa.
Resumo das verificações:
1 filtro: requer L_{\min}\approx5{,}631\\ \text{cm} para atingir N\le0{,}01, mas a perda de carga \Delta P\approx33{,}227\\ \text{kPa} excede fortemente o limite do soprador (14\\ \text{kPa}). Portanto inviável com o soprador disponível.
2 filtros: requer L_{\min}\approx5{,}003\\ \text{cm}, perda de carga \Delta P\approx16{,}763\\ \text{kPa}, também excede o limite — tecnicamente inviável sem soprador mais potente.
3 filtros: requer L_{\min}\approx4{,}824\\ \text{cm}, perda de carga \Delta P\approx12{,}086\\ \text{kPa}, que está abaixo do limite \Delta P_{\max}=14\\ \text{kPa}. Portanto atende ao critério microbiológico e às limitações do soprador.
Justificativa técnica (amigável e direta):
A configuração com 3 filtros em paralelo é a melhor opção técnica porque combina: (i) eficiência microbiológica suficiente com espessura prática L_{\min} dentro dos valores aceitáveis; (ii) perda de carga dentro da capacidade do soprador; (iii) vantagem operacional (redundância parcial: cada filtro opera com vazão menor o que melhora k_{ef} e reduz o desgaste e a deposição). O custo inicial pode ser maior (3 filtros vs 1), mas do ponto de vista de segurança microbiológica e de limites de equipamento disponível, é a solução viável. Se houver restrição econômica, poderia avaliar aumentar a potência do soprador para 2 filtros, mas com o soprador atual a opção viável é 3 filtros.
Boa notícia: isto significa que com 3 filtros e espessura cerca de 4{,}82\\ \text{cm} o critério é atendido e o soprador dá conta do recado. Vai dar certo na prova se você apresentar esses cálculos e o raciocínio!
Resposta
a) V_{1}=30\\ \text{m}^{3},\\ V_{2}=252\\ \text{m}^{3},\\ V_{3}=108\\ \text{m}^{3},\\ V_{\text{total}}=390\\ \text{m}^{3}.
b) N_{o}=1{,}644\times10^{6} microrganismos.
c) Q_{\text{total,max}}=140\\ \text{L}/\min;\\ Q_{f,\,n=1}=140\\ \text{L}/\min;\\ Q_{f,\,n=2}=70\\ \text{L}/\min;\\ Q_{f,\,n=3}=46{,}6667\\ \text{L}/\min.
d) k_{ef,\,n=1}=3{,}36\\ \text{cm}^{-1};\\ k_{ef,\,n=2}=3{,}78\\ \text{cm}^{-1};\\ k_{ef,\,n=3}=3{,}92\\ \text{cm}^{-1}.
e) Tabela de valores (para plot manual, coluna L em cm; N em número esperado; \log_{10}(N) mostrado):
Configuração 3 (k_{ef}=3{,}92): L=3{,}5\Rightarrow N\approx1{,}81,\\ \log_{10}N\approx0{,}26;\\ L=4{,}0\Rightarrow N\approx0{,}2566,\\ \log_{10}N\approx-0{,}59;\\ L=4{,}5\Rightarrow N\approx0{,}0358,\\ \log_{10}N\approx-1{,}45;\\ L=5{,}0\Rightarrow N\approx0{,}00505,\\ \log_{10}N\approx-2{,}30;\\ L=5{,}5\Rightarrow N\approx0{,}000711,\\ \log_{10}N\approx-3{,}15;\\ L=6{,}0\Rightarrow N\approx0{,}000100,\\ \log_{10}N\approx-3{,}99.
(Gráfico: plotar \log_{10}(N) vs L e traçar \log_{10}(N)=-2 como linha de critério.)
f) Espessuras mínimas para N\le0{,}01: L_{\min,\,n=1}\approx5{,}631\\ \text{cm};\\ L_{\min,\,n=2}\approx5{,}003\\ \text{cm};\\ L_{\min,\,n=3}\approx4{,}824\\ \text{cm}.
g) Perda de carga em L_{\min}: \Delta P_{n=1}\approx33{,}227\\ \text{kPa}>\!14\\ \text{kPa} (não atende); \Delta P_{n=2}\approx16{,}763\\ \text{kPa}>\!14\\ \text{kPa} (não atende); \Delta P_{n=3}\approx12{,}086\\ \text{kPa}\le14\\ \text{kPa} (atende).
h) Melhor configuração técnica: 3 filtros em paralelo (justificativa: atende ao critério microbiológico com L_{\min} praticável e mantém a perda de carga abaixo do limite do soprador; oferece melhor operação e segurança).