A pressão manométrica em um tubo com diâmetro de 50 mm é 75 kPa , onde a água flui com velocidade de 1,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O tubo se bifurca em dois tubos menores, cada um com diâmetro de 25 mm . Todos os tubos ficam à mesma altura.(Exercício 25, sec 15.5; Física - Vol.1; Keller, Gettys & Stokes)
a) Qual a vazão no tubo maior?
b) E em cada um dos tubos menores?
c) Qual a velocidade da água nos tubos menores?
d) Qual a pressão manométrica nos tubos menores?

Passo 1

O enunciado nos dá um tubo principal de diâmetro 50\\ \mathrm{mm} em que a água escoa com velocidade de 1{,}7\\ \mathrm{m/s} e pressão manométrica de 75\\ \mathrm{kPa}. Esse tubo se divide em dois ramos idênticos de diâmetro 25\\ \mathrm{mm}, todos à mesma altura. Vamos calcular primeiro a vazão no tubo principal usando a área da seção, depois dividir essa vazão igualmente nos dois ramos para obter a vazão em cada um. Em seguida encontramos a velocidade nos tubos menores e, finalmente, aplicamos o teorema de Bernoulli (desprezando perdas) para determinar a pressão manométrica nesses ramos.

Passo 2

A área da seção transversal do tubo maior vale
A_{\text{maior}} = \frac{\pi}{4} \,D^2 = \frac{\pi}{4}\,(0,05)^2 \approx 1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Logo a vazão no tubo maior é
Q_{\text{maior}} = A_{\text{maior}}\;v = 1{,}9635\times10^{-3}\times1{,}7 \approx 3{,}3380\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Como o escoamento se bifurca em dois ramos idênticos, cada um recebe metade da vazão total:
Q_{\text{menor}} = \frac{Q_{\text{maior}}}{2} \approx \frac{3{,}3380\times10^{-3}}{2} =1{,}6690\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

A área de cada tubo menor é
A_{\text{menor}} = \frac{\pi}{4}\,(0,025)^2 \approx 4{,}9099\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Portanto a velocidade em cada ramo menor é
v_{\text{menor}} = \frac{Q_{\text{menor}}}{A_{\text{menor}}} \approx \frac{1{,}6690\times10^{-3}}{4{,}9099\times10^{-4}} \approx 3{,}40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Aplicando Bernoulli entre o trecho antes da bifurcação e um ramo menor (mesma altitude e sem perdas), temos
p_{\text{maior}} + \tfrac12\,\rho\,v^2_{\text{maior}} = p_{\text{menor}} + \tfrac12\,\rho\,v^2_{\text{menor}}.
Isolando p_{\text{menor}} e usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},
p_{\text{menor}} = p_{\text{maior}} + \tfrac12\,\rho\bigl(v^2_{\text{maior}}-v^2_{\text{menor}}\bigr) =75\,000 + \tfrac12\cdot1000\bigl(1{,}7^2-3{,}40^2\bigr) \approx70\,665\\ \mathrm{Pa} \approx70{,}7\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

(a) Q_{\text{maior}} \approx 3{,}34\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}.
(b) Q_{\text{menor}} \approx 1{,}67\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} em cada ramo.
(c) v_{\text{menor}} \approx 3{,}40\\ \mathrm{m/s}.
(d) p_{\text{menor}} \approx 70{,}7\\ \mathrm{kPa}.

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