Um carro percorre 10 km a 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} até que a gasolina acaba. O motorista caminha então 4 km em meia hora até um posto mais à frente na estrada.
a) Faça o gráfico da posição x em função do tempo.
b) Qual a velocidade média desde que entrou no carro até o posto?
c) Se, depois disso, o motorista traz o combustível de volta em 35 min , qual a velocidade média desde o instante em que entrou no carro até voltar ao carro?

Passo 1

Resumo do enunciado: um carro sai do repouso (ou seja, começa em x=0) e percorre 10,km a 50,km/h até a gasolina acabar; em seguida o motorista caminha 4,km em 0{,}5 h até um posto; depois ele traz o combustível de volta em 35 min (para o mesmo ponto onde deixou o carro).
Conteúdo: movimento retilíneo uniforme em trechos distintos, gráfico x(t) e velocidade média definida por
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\,.

Passo 2

Calcular os tempos nos dois primeiros trechos:
– Trecho de carro: x_{1}=10,km a v_{1}=50,km/h.
t_{1}=\frac{x_{1}}{v_{1}}=\frac{10}{50}=0{,}2\text{ h}.
– Trecho a pé até o posto: x_{2}=4,km em t_{2}=0{,}5 h, com velocidade
v_{2}=\frac{x_{2}}{t_{2}}=\frac{4}{0{,}5}=8\text{ km/h}.

Passo 3

(a) Montar o gráfico de x\) versus \(t\) para \(0\le t\le t_{1}+t_{2}=0{,}7\) h. Definimos a função peça-por-peça: \[x(t)= \begin{cases} 50\,t\,,&0\le t\le0{,}2,\\\\ 10+8\,(t-0{,}2)\,,&0{,}2\le t\le0{,}7. \end{cases}
No plano (t,x)\], temos: – Segmento de reta de inclinação \(50 ligando (0,0) a (0{,}2,10).
– Segmento de reta de inclinação 8 ligando (0{,}2,10) a (0{,}7,14).

Passo 4

(b) Velocidade média desde o início até o posto:
\Delta x=14\text{ km},\quad \Delta t=0{,}7\text{ h},
\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t} =\frac{14}{0{,}7}=20\text{ km/h}.

Passo 5

(c) Trazer o combustível de volta até o carro:
– Distância de volta x_{3}=-4,km (volta do posto ao ponto onde o carro parou).
– Tempo de volta t_{3}=35 min =35/60=0{,}5833 h.
Tempo total desde o início até voltar ao carro:
T=t_{1}+t_{2}+t_{3}=0{,}2+0{,}5+0{,}5833=1{,}2833\text{ h}.
Deslocamento total (do ponto inicial até o carro estacionado) é 10,km. Logo
\bar v_{\rm total} =\frac{10}{1{,}2833}\approx7{,}8\text{ km/h}.

Resposta

(a) Gráfico peça-por-peça com inclinação 50 de t=0 a 0{,}2 h (até x=10 km) e inclinação 8 de t=0{,}2 a 0{,}7 h (até x=14 km).
(b) 20 km/h.
(c) \approx7{,}8 km/h.

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