A pressão de vapor da água é de 17,5 \mathrm{mmHg} a 20^{\circ} \mathrm{C} e de 92,5 \mathrm{mmHg} a 45^{\circ} \mathrm{C}. Usando a equação de Clausius-Clapeyron, estime a pressão de vapor da água a 30^{\circ} \mathrm{C}. Dados: (Calor molar de vaporização da água: \Delta \mathrm{Hvap}=40,7 \mathrm{~kJ} / )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão de vapor a 20^\circ\mathrm{C}: P_{20}=17{,}5\\ \mathrm{mmHg}.
    • Pressão de vapor a 45^\circ\mathrm{C}: P_{45}=92{,}5\\ \mathrm{mmHg}.
    • Calor molar de vaporização: \Delta H_{\mathrm{vap}}=40{,}7\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
  • O que pedem:
    • Estimar a pressão de vapor da água a 30^\circ\mathrm{C}.
Observação numérica que já faço aqui (vai ser útil nas contas): converter unidades e temperaturas para o sistema SI:
  • \Delta H_{\mathrm{vap}}=40{,}7\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}=40700\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Temperaturas em Kelvin:
    • T_{20}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
    • T_{30}=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
    • T_{45}=45^\circ\mathrm{C}=318{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar (equação de Clausius–Clapeyron integrada, assumindo \Delta H_{\mathrm{vap}} praticamente constante no intervalo de temperaturas considerado).
A forma integrada e prática é
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Explicando cada termo:
  • P_1 e P_2 são pressões de vapor em dois estados conhecidos (ou um conhecido e o que queremos).
  • T_1 e T_2 são as temperaturas absolutos (em K) correspondentes a P_1 e P_2.
  • \Delta H_{\mathrm{vap}} é o calor molar de vaporização (em J·mol ^{-1}).
  • R é a constante dos gases (em J·mol ^{-1}K ^{-1}).
  • A equação resulta da integração da forma diferencial \dfrac{d\ln P}{dT}=\dfrac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{RT^2} supondo \Delta H_{\mathrm{vap}} constante.
Na prática, dada uma pressão conhecida P_{\mathrm{ref}} em T_{\mathrm{ref}}, para obter P em T usamos:
\ln\!\left(\frac{P}{P_{\mathrm{ref}}}\right)=-\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\mathrm{ref}}}\right).

Passo 3

Escolha do ponto de referência: há duas pressões dadas (20°C e 45°C). Vou usar como referência P_{20}=17{,}5\\ \mathrm{mmHg} em T_{20}=293{,}15\\ \mathrm{K} para estimar P em T_{30}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
Motivo: o ponto 20^\circ\mathrm{C} está mais próximo de 30^\circ\mathrm{C} do que 45^\circ\mathrm{C}, então a aproximação de \Delta H_{\mathrm{vap}} constante tende a introduzir menor erro ao usar o ponto mais próximo. (Se quiser, mais abaixo faço uma conta usando 45^\circ\mathrm{C} só para comparar.)

Passo 4

Aplicando a fórmula com P_{\mathrm{ref}}=P_{20}, T_{\mathrm{ref}}=T_{20} e T=T_{30}:
\ln\!\left(\frac{P_{30}}{P_{20}}\right)=-\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\left(\frac{1}{T_{30}}-\frac{1}{T_{20}}\right).
Substituindo os valores numéricos (mostrando cada conversão):
  • \Delta H_{\mathrm{vap}}=40700\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
  • R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • T_{20}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • T_{30}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • P_{20}=17{,}5\\ \mathrm{mmHg}.

Passo 5

Calcular passo a passo o fator no expoente.
Primeiro calcule a diferença de recíprocos de temperatura:
\frac{1}{T_{20}}-\frac{1}{T_{30}}=\frac{T_{30}-T_{20}}{T_{20}\,T_{30}} =\frac{303{,}15-293{,}15}{293{,}15\times303{,}15} =\frac{10{,}00}{293{,}15\times303{,}15}.
Agora o produto 293{,}15\times303{,}15:
293{,}15\times303{,}15 \approx 88868{,}42\quad(\text{usando multiplicação direta}).çã
Portanto
\frac{1}{T_{20}}-\frac{1}{T_{30}}\approx\frac{10{,}00}{88868{,}42}=0{,}000112544.
Em seguida calcule o quociente \dfrac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}:
\frac{40700}{8{,}314}\approx 4895{,}36.
Multiplicando:
\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\left(\frac{1}{T_{20}}-\frac{1}{T_{30}}\right) \approx 4895{,}36\times 0{,}000112544 \approx 0{,}5509.
Assim
\ln\!\left(\frac{P_{30}}{P_{20}}\right)\approx 0{,}5509.

Passo 6

Agora expoente e cálculo da pressão:
\frac{P_{30}}{P_{20}}=\exp(0{,}5509)\approx 1{,}7356.
Logo
P_{30}=P_{20}\times 1{,}7356 \approx 17{,}5\times 1{,}7356 \approx 30{,}4\\ \mathrm{mmHg}.

Passo 7

Breve verificação/observação (opcional, para senso físico e confiança):
Se em vez de usar 20^\circ\mathrm{C} como referência usássemos 45^\circ\mathrm{C} (mais distante), a mesma fórmula daria um valor diferente:
  • Usando P_{45}=92{,}5\\ \mathrm{mmHg} em T_{45}=318{,}15\\ \mathrm{K} para obter P_{30}, obtém-se aproximadamente P_{30}\approx 43{,}2\\ \mathrm{mmHg}.
Essa diferença existe porque a suposição de \Delta H_{\mathrm{vap}} constante não é perfeita e os dados fornecidos (pressões em 20°C e 45°C) também não são perfeitamente consistentes com o valor único de \Delta H_{\mathrm{vap}} dado. Por isso dei preferência ao cálculo usando 20^\circ\mathrm{C}, que é mais próximo de 30^\circ\mathrm{C} e, portanto, tende a ser mais confiável para uma estimativa local.

Resposta

30{,}4\\ \mathrm{mmHg}

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