O polo sul de Marte é coberto por uma camada de gelo seco ( \mathrm{CO}_{2} sólido), que sublima parcialmente durante o verão marciano e condensa novamente durante o inverno, quando a temperatura atinge cerca de 150 K . Sabe-se que, à temperatura de 194,7 \mathrm{~K}, o dióxido de carbono tem uma pressão de vapor de 1,013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} ( 1 atm ). Usando a equação de Clausius-Clapeyron, estime a pressão atmosférica média na superfície de Marte, assumindo que ela corresponde à pressão de vapor do \mathrm{CO}_{2} a 150 K .
O calor molar de sublimação do \mathrm{CO}_{2} é \Delta \mathrm{H} \_\mathrm{sub}=25,9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados fornecidos:
  • Temperatura onde a pressão de vapor do \mathrm{CO}_2 é conhecida: T_1=194{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de vapor correspondente: P_1=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura de interesse (inverno em Marte): T_2=150\\ \mathrm{K}.
  • Calor molar de sublimação do \mathrm{CO}_2: \Delta H_{\mathrm{sub}}=25{,}9\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
O que o enunciado pede:
  • Estimar a pressão atmosférica média na superfície de Marte, assumindo que ela corresponde à pressão de vapor do \mathrm{CO}_2 a T_2=150\\ \mathrm{K}. Ou seja, calcular P_2 correspondente a T_2.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (aula rápida e prática). A equação de Clausius–Clapeyron, na forma integrada e assumindo \Delta H_{\mathrm{sub}} praticamente constante entre as duas temperaturas, é:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-\frac{\Delta H_{\mathrm{sub}}}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
O que isso significa, em palavras simples:
  • \Delta H_{\mathrm{sub}} é a energia necessária para transformar 1 mol de sólido em gás (aqui em J·mol^{-1}).
  • R é a constante dos gases ideais (em J·mol{-1}·K{-1}).
  • A equação relaciona a razão das pressões de vapor com a diferença das inversas das temperaturas; é muito usada para estimar como a pressão de vapor muda com a temperatura quando a entalpia de mudança de fase é aproximadamente constante.

Passo 3

Preparar as constantes e converter unidades (aula prática sobre unidades).
  • Converter \Delta H_{\mathrm{sub}} para joules por mol:
\Delta H_{\mathrm{sub}}=25{,}9\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}=25{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Constante dos gases (valor a usar):
R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 4

Substituir na forma logarítmica e calcular o fator multiplicador passo a passo. Primeiro calculemos a diferença das inversas das temperaturas:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{150}-\frac{1}{194{,}7}.
Calcule cada termo:
\frac{1}{150}=0{,}006\,666\ldots\\ \mathrm{K^{-1}}, \qquad \frac{1}{194{,}7}\approx0{,}005\,1339\\ \mathrm{K^{-1}}.
Portanto
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\approx0{,}006\,6667-0{,}005\,1339=0{,}001\,5328\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Calcular o coeficiente \dfrac{\Delta H_{\mathrm{sub}}}{R} e o produto com a diferença de inversas:
\frac{\Delta H_{\mathrm{sub}}}{R}=\frac{25{,}9\times10^{3}}{8{,}314}\approx3115{,}1\\ \text{(adimensional)}.
Multiplicando:
\frac{\Delta H_{\mathrm{sub}}}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\approx3115{,}1\times0{,}001\,5328\approx4{,}7747.
Assim a equação dá
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=-4{,}7747.

Passo 6

Desempacotar o logaritmo para obter P_2:
\frac{P_2}{P_1}=e^{-4{,}7747}\quad\Rightarrow\quad P_2=P_1\,e^{-4{,}7747}.
Usando P_1=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_2\approx1{,}013\times10^{5}\times e^{-4{,}7747}.
Calcule e^{-4{,}7747}\approx0{,}008\,441. Portanto
P_2\approx1{,}013\times10^{5}\times0{,}008\,441\approx8,55\times10^{2}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

P_2\approx8,55\times10^{2}\\ \mathrm{Pa} (aproximadamente 8{,}55\\ \text{mbar}).

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