A pressão de vapor de uma solução onde
a 300 K é 70 torr. Determine o mais precisamente possível a temperatura de fusão desta solução.
Dados
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Dados fornecidos:
- A fração molar da sacarose na solução é
. - A pressão de vapor da solução a
é . - A pressão de vapor do benzeno puro a
é . - Temperatura de fusão (ponto de fusão) do benzeno puro:
. - Entalpia de fusão do benzeno:
.
- A fração molar da sacarose na solução é
- Quantidades que posso calcular a partir dos dados:
- Fração molar do solvente (benzeno) é
.
- Fração molar do solvente (benzeno) é
- O que o enunciado pede:
- Determinar, o mais precisamente possível, a temperatura de fusão da solução (ou seja, o novo ponto de fusão do benzeno quando a sacarose está dissolvida).
Passo 2
Ideia física e equação que vamos usar — passo a passo e bem didático.
Quando um sólido puro (a fase sólida do solvente) está em equilíbrio com a fase líquida do solvente numa solução, as potenciais químicas do solvente nas duas fases são iguais. Escrevendo isso:
Aqui:
-
é a potencial químico do solvente na fase sólida (assume-se solvente puro sólido). -
é o potencial químico do solvente na fase líquida quando a solução contém soluto.
Para uma solução ideal com soluto não volátil, o potencial químico do solvente na fase líquida vale
onde:
-
é o potencial químico do solvente puro líquido à temperatura , -
é a constante universal dos gases , -
é a fração molar do solvente (benzeno) na solução.
Subtraindo a condição de equilíbrio para o solvente puro no seu ponto de fusão padrão
e integrando supondo
praticamente constante, obtemos a relação exata (quando
é considerada independente de
):
onde:
-
é a temperatura de fusão da solução (o que queremos), -
é a temperatura de fusão do solvente puro (dado: ), -
é a entalpia molar de fusão (dado: ).
Explicando de forma bem clara: a igualdade vem de igualar o ganho/ perda de energia livre entre líquido puro e sólido puro ao efeito entrópico da mistura (o termo
). Essa fórmula é mais precisa que a forma linearizada porque trata o termo
exatamente.
Passo 3
Formas equivalentes da equação e comentários sobre aproximações úteis na prova.
A equação do passo anterior pode ser escrita explicitamente como
Esta é uma equação implícita para
. Para soluções diluídas costuma-se linearizar usando
e
, obtendo a conhecida expressão de depressão crioscópica
Porém aqui
não é tão pequena, então para sermos “o mais precisamente possível” vamos resolver numericamente a equação exata do parágrafo acima, sem fazer a segunda aproximação
.
Passo 4
Substituição dos valores numéricos na equação exata.
Escrevendo tudo em unidades SI:
-
. -
. -
. -
.
A equação fica
Calculemos primeiro
:
Multiplicando
por
obtemos um coeficiente prático:
Assim a equação pode ser rearranjada numericamente como
Esta é a equação que devemos resolver para
.
Passo 5
Resolução numérica (método de Newton, com passos mostrados).
Vou usar uma aproximação inicial obtida pela versão linearizada (para ter um chute inicial rápido):
- Aplicando a fórmula aproximada
com os dados, obtemos um chute inicial . (não mostro cada multiplicação aqui para não alongar demais; serve só de palpite inicial).
Agora Newton: definimos a função
e sua derivada
Iteração 1 (começando com
, um valor próximo ao palpite):
- Calcular
: usando , - Calcular
- Atualização
Iteração 2:
- Calcular
: usando , - Calcular
. - Atualização
Iteração 3 (uma última iteração para garantir convergência):
- Avaliando
dá um valor muito próximo de zero (algumas décimas de kelvin ou menos); a correção será pequena (ordem de K). Portanto a raiz converge para
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida de consistência.
- O ponto de fusão do benzeno foi reduzido de
para cerca de pela presença de sacarose em fração molar . - A depressão de fusão é
. - Observação rápida: a pressão de vapor indicada no enunciado (
a ) e poderiam ser usados para estimar uma fração molar efetiva do solvente via a lei de Raoult . Se fizesse isso obter-se-ia , diferente do dado — isso indicaria não-idealidade ou inconsistência se levado ao pé da letra. Como o enunciado fixou , usei esse valor direto para calcular . (Notei essa diferença, por isso escolhi resolver a partir da fração molar fornecida.)