Cada um desses problemas de valor extremo tem uma solução tanto com valor máximo quanto com valor mínimo. Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x, y) = x y e{-x{2}-y^{2}} $ e uma restrição $ 2x - y = 0 $. O objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função, mas tudo isso precisa obedecer à restrição dada. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta poderosa no cálculo para encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos montar o Multiplicador de Lagrange. A ideia aqui é transformar o problema com restrição em um problema sem restrição adicionando a restrição à função original com um multiplicador (vamos chamar de $ \lambda $). A função de Lagrange fica assim:
Substituindo $ f(x, y) $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a $ x $, $ y $ e $ \lambda $ e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeiro, derivada em relação a $ x $:
Simplificando:
Segundo, derivada em relação a $ y $:
Simplificando:
Terceiro, derivada em relação a $ \lambda $:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
- $ y e{-x{2}-y^{2}} (1 - 2x^{2}) - 2\lambda = 0 $
- $ x e{-x{2}-y^{2}} (1 - 2y^{2}) + \lambda = 0 $
- $ 2x - y = 0 $
Da terceira equação, podemos expressar $ y $ em termos de $ x $:
Agora, substituímos $ y = 2x $ nas primeiras duas equações.
Substituindo na primeira equação:
Simplificando o expoente:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, substituímos $ y = 2x $ na segunda equação:
Simplificando:
Substituindo $ \lambda $ da equação anterior:
Fatorando $ x e{-5x{2}} $:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação $ x e{-5x{2}} (2 - 10x^{2}) = 0 $.
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ 2 - 10x^{2} = 0 $
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo na restrição $ y = 2x $:
Então, temos o ponto $ (0, 0) $.
Caso 2: $ 2 - 10x^{2} = 0 $
Resolvendo para $ x $:
Calculando $ y $:
Então, temos dois pontos: $ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ e $ \left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) $.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da função $ f(x, y) = x y e{-x{2}-y^{2}} $ em cada um dos pontos encontrados para determinar quais são máximos e mínimos.
Ponto (0, 0):
Ponto $ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $:
Ponto $ \left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) $:
Resposta
Os valores extremos da função $ f(x, y) = x y e{-x{2}-y^{2}} $ sujeitos à restrição $ 2x - y = 0 $ são:
-
Máximos locais: Nos pontos $ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ e $ \left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ com valor aproximado de $ 0,108 $.
-
Mínimo local: No ponto $ (0, 0) $ com valor $ 0 $.