Cada um desses problemas de valor extremo tem uma solução tanto com valor máximo quanto com valor mínimo. Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=x y e^-x^2-y^2 ; 2 x-y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x, y) = x y e{-x{2}-y^{2}} $ e uma restrição $ 2x - y = 0 $. O objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função, mas tudo isso precisa obedecer à restrição dada. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta poderosa no cálculo para encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos montar o Multiplicador de Lagrange. A ideia aqui é transformar o problema com restrição em um problema sem restrição adicionando a restrição à função original com um multiplicador (vamos chamar de $ \lambda $). A função de Lagrange fica assim:
lambda
Substituindo $ f(x, y) $:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (2x - y)

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a $ x $, $ y $ e $ \lambda $ e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeiro, derivada em relação a $ x $:
x
Simplificando:
y
Segundo, derivada em relação a $ y $:
lambda
Simplificando:
x
Terceiro, derivada em relação a $ \lambda $:
partial Lpartial x = y e^-x^2-y^2 + x y (-2x) e^-x^2-y^2 - 2lambda = 0
Ou seja:
y e^-x^2-y^2 (1 - 2x^2) - 2lambda = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
  1. $ y e{-x{2}-y^{2}} (1 - 2x^{2}) - 2\lambda = 0 $
  2. $ x e{-x{2}-y^{2}} (1 - 2y^{2}) + \lambda = 0 $
  3. $ 2x - y = 0 $
Da terceira equação, podemos expressar $ y $ em termos de $ x $:
y e^-x^2-y^2 (1 - 2x^2) - 2lambda = 0
Agora, substituímos $ y = 2x $ nas primeiras duas equações.
Substituindo na primeira equação:
x e^-x^2-y^2 (1 - 2y^2) + lambda = 0
Simplificando o expoente:
2x - y = 0
Dividindo ambos os lados por 2:
y
Agora, substituímos $ y = 2x $ na segunda equação:
x
Simplificando:
y = 2x
Substituindo $ \lambda $ da equação anterior:
y = 2x
Fatorando $ x e{-5x{2}} $:
2x e^-x^2 - (2x)^2 (1 - 2x^2) - 2lambda = 0
Simplificando dentro dos colchetes:
2x e^-5x^2 (1 - 2x^2) - 2lambda = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação $ x e{-5x{2}} (2 - 10x^{2}) = 0 $.
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ 2 - 10x^{2} = 0 $
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo na restrição $ y = 2x $:
x e^-5x^2 (2 - 10x^2) = 0
Então, temos o ponto $ (0, 0) $.
Caso 2: $ 2 - 10x^{2} = 0 $
Resolvendo para $ x $:
x = 0
Calculando $ y $:
2 - 10x^2 = 0
Então, temos dois pontos: $ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ e $ \left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) $.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da função $ f(x, y) = x y e{-x{2}-y^{2}} $ em cada um dos pontos encontrados para determinar quais são máximos e mínimos.
Ponto (0, 0):
f(x, y) = x y e^-x^2-y^2
Ponto $ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $:
f(0, 0) = 0 times 0 times e^-0 - 0 = 0
Ponto $ \left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) $:
( 1raiz5, 2raiz5 )

Resposta

Os valores extremos da função $ f(x, y) = x y e{-x{2}-y^{2}} $ sujeitos à restrição $ 2x - y = 0 $ são:
  • Máximos locais: Nos pontos $ \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ e $ \left( -\frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) $ com valor aproximado de $ 0,108 $.
  • Mínimo local: No ponto $ (0, 0) $ com valor $ 0 $.

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