Pretende-se estimar a proporção de cura, através do uso de um certo medicamento em doentes contaminados com cercária que é uma das formas do verme da esquistossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento em 230 pacientes, escolhidos ao acaso e observar que 170 deles foram curados. O que podemos dizer da proporção da população em geral para umn nivel de confiança de
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa estimar a proporção de pacientes que se curam usando um medicamento específico contra a esquistossomose. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente a estimativa de proporção com um nível de confiança de 94%. Vamos precisar entender como construir um intervalo de confiança para a proporção.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos. No experimento:
- Tamanho da amostra (n): 230 pacientes
- Número de curados (x): 170 pacientes
A proporção amostral ($ \hat{p} $) é calculada dividindo o número de curados pelo total de pacientes:
Vamos calcular isso:
Então, a proporção amostral é aproximadamente 73,91%.
Passo 3
Agora, precisamos construir o intervalo de confiança para a proporção populacional. O intervalo de confiança nos dá um intervalo no qual acreditamos que a verdadeira proporção da população está, com um certo nível de confiança (neste caso, 94%).
A fórmula para o intervalo de confiança para uma proporção é:
Onde:
- $ \hat{p} $ é a proporção amostral
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança
- $ n $ é o tamanho da amostra
Passo 4
Precisamos encontrar o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 94%. O nível de confiança de 94% corresponde a um nível de significância ($ \alpha $) de 6%, já que $ 100% - 94% = 6% $.
Como a distribuição é simétrica, dividimos $ \alpha $ por 2 para encontrar as probabilidades em cada extremidade:
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de $ Z $ correspondente a 3% na cauda superior é aproximadamente 1,88.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão ($ E_p $):
Calculando o numerador:
Agora, dividimos por $ n $:
E tiramos a raiz quadrada:
Passo 6
Finalmente, vamos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
Calculando o produto:
Então, o intervalo fica:
Resposta
Com um nível de confiança de 94%, a proporção da população que se cura com o medicamento está entre aproximadamente 68,51% e 79,31%.