Usando o Teorema de Lagrange prove a seguinte desigualdade:
e^x >= x+1, forall x in R.

Passo 1

O enunciado pede pra provar que e^x >= x + 1 para todo x in R, usando o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio) aplicado à função exponencial.

Passo 2

Perceba que, para x = 0, a desigualdade fica e^0 = 1 = 0 + 1, então já bate certinho.

Passo 3

Para x neq 0, considere a função f(t) = e^t no intervalo de 0 até x. Pelo Teorema de Lagrange existe c entre 0 e x tal que
f(x) - f(0)x - 0 = f'(c) Rightarrow e^x - 1x = e^c

Passo 4

Dessa igualdade segue que
e^x = 1 + x,e^c

Passo 5

Agora note que e^c > 0. Se x > 0, então cin(0,x) implica e^c > 1, logo x e^c >= x. Se x < 0, então cin(x,0) implica e^c < 1, mas multiplicar por x<0 inverte a desigualdade de modo a obter também x e^c >= x.
Assim, em ambos os casos temos x e^c >= x, o que leva a
e^x = 1 + x e^c >= 1 + x

Passo 6

Portanto a desigualdade e^x >= x + 1 vale para todo x in R.

Resposta

e^x >= x + 1, ;forall x in R

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