Usando o Teorema de Lagrange prove a seguinte desigualdade:
.
Passo 1
O enunciado pede pra provar que
para todo
, usando o Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio) aplicado à função exponencial.
Passo 2
Perceba que, para
, a desigualdade fica
, então já bate certinho.
Passo 3
Para
, considere a função
no intervalo de
até
. Pelo Teorema de Lagrange existe
entre
e
tal que
Passo 4
Dessa igualdade segue que
Passo 5
Agora note que
. Se
, então
implica
, logo
. Se
, então
implica
, mas multiplicar por
inverte a desigualdade de modo a obter também
.
Assim, em ambos os casos temos , o que leva a
Assim, em ambos os casos temos
Passo 6
Portanto a desigualdade
vale para todo
.