Pretende-se triturar 120 \mathrm{ton} / \mathrm{h} de um material que tem tamanho inicial de 4 mm até um produto de tamanho de 2,5 \mathrm{~mm}. Sabendo que o Índice de Trabalho de Bond equivale a 5,13 \mathrm{~kW} . \mathrm{h} / ton, calcular:
(i) A potência requerida pelo moinho;
(ii) A potência adicional necessária para, em uma segunda operação, moer o material até 1 mm .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A potência requerida para triturar 120\\ \mathrm{ton/h} do material de tamanho inicial 4\\ \mathrm{mm} até produto de 2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  2. A potência adicional necessária para, numa segunda operação, moer o material de 2{,}5\\ \mathrm{mm} até 1\\ \mathrm{mm}.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Vazão (produçã o): } \dot{m} = 120\\ \mathrm{ton/h},\\\ &\text{Tamanho inicial (primeira operação): } F_{80}^{(1)} = 4\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{Tamanho final (primeira operação): } P_{80}^{(1)} = 2{,}5\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{Tamanho final da segunda operação: } P_{80}^{(2)} = 1\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{Índice de trabalho de Bond: } W_i = 5{,}13\\ \mathrm{kW\cdot h/ton}. \end{aligned}ãçãçãçãçãÍ

Passo 2

Apresentando a fórmula de Bond que vamos usar. A relação clássica de Bond para energia específica de moagem (em \mathrm{kW\cdot h/ton}) é:
W = 10\,W_i\left(\frac{1}{\sqrt{P_{80}}} - \frac{1}{\sqrt{F_{80}}}\right),
onde:
  • W é a energia específica necessária (em \mathrm{kW\cdot h/ton});
  • W_i é o Índice de Trabalho de Bond (em \mathrm{kW\cdot h/ton});
  • F_{80} é o tamanho em que 80\% passa na alimentação (em \mu\mathrm{m});
  • P_{80} é o tamanho em que 80\% passa no produto (em \mu\mathrm{m}).
Observação importante: os tamanhos devem ser colocados em micrômetros ( \mu\mathrm{m}) ao usar essa fórmula.

Passo 3

Converter os tamanhos de \mathrm{mm} para \mu\mathrm{m} (1 \mathrm{mm}=1000\\ \mu\mathrm{m}):
\begin{aligned} F_{80}^{(1)} &= 4\\ \mathrm{mm} = 4000\\ \mu\mathrm{m},\\\ P_{80}^{(1)} &= 2{,}5\\ \mathrm{mm} = 2500\\ \mu\mathrm{m},\\\ P_{80}^{(2)} &= 1\\ \mathrm{mm} = 1000\\ \mu\mathrm{m}. \end{aligned}

Passo 4

Calcular a energia específica requerida na primeira operação ( 4\\ \mathrm{mm} \to 2{,}5\\ \mathrm{mm}) usando a fórmula de Bond.
Primeiro calcule as raízes quadradas e os recíprocos:
\begin{aligned} \sqrt{P_{80}^{(1)}} &= \sqrt{2500} = 50,\\\ \sqrt{F_{80}^{(1)}} &= \sqrt{4000} \approx 63{,}2455532,\\\ \frac{1}{\sqrt{P_{80}^{(1)}}} &= \frac{1}{50} = 0{,}02,\\\ \frac{1}{\sqrt{F_{80}^{(1)}}} &\approx \frac{1}{63{,}2455532} \approx 0{,}015811388. \end{aligned}
Agora aplique a fórmula:
\begin{aligned} W^{(1)} &= 10\cdot W_i\left(\frac{1}{\sqrt{P_{80}^{(1)}}}-\frac{1}{\sqrt{F_{80}^{(1)}}}\right)\\\ &= 10\cdot 5{,}13\left(0{,}02 - 0{,}015811388\right)\\\ &= 51{,}3 \times 0{,}004188612\\\ &\approx 0{,}2149017\\ \mathrm{kW\cdot h/ton}. \end{aligned}
Interpretação: para cada tonelada processada nessa primeira etapa, são necessários cerca de 0{,}2149\\ \mathrm{kW\cdot h}.

Passo 5

Converter energia específica em potência necessária para a vazão dada. A relação é:
\text{Potência (kW)} = \dot{m}\\ (\mathrm{ton/h}) \times W\\ (\mathrm{kW\cdot h/ton}).ê
Aplicando para a primeira operação:
\begin{aligned} P^{(1)} &= 120\\ \mathrm{ton/h} \times 0{,}2149017\\ \mathrm{kW\cdot h/ton}\\\ &\approx 25{,}7882\\ \mathrm{kW}. \end{aligned}
Arredondando razoavelmente, temos P^{(1)}\approx 25{,}79\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Calcular a energia específica da segunda operação ( 2{,}5\\ \mathrm{mm} \to 1\\ \mathrm{mm}), ou seja, F_{80}=2500\\ \mu\mathrm{m} e P_{80}=1000\\ \mu\mathrm{m}.
Calcule raízes e recíprocos:
\begin{aligned} \sqrt{P_{80}^{(2)}} &= \sqrt{1000} \approx 31{,}6227766,\\\ \sqrt{F_{80}^{(2)}} &= \sqrt{2500} = 50,\\\ \frac{1}{\sqrt{P_{80}^{(2)}}} &\approx 0{,}031622777,\\\ \frac{1}{\sqrt{F_{80}^{(2)}}} &= 0{,}02. \end{aligned}
Aplique a fórmula de Bond:
\begin{aligned} W^{(2)} &= 10\cdot W_i\left(\frac{1}{\sqrt{P_{80}^{(2)}}}-\frac{1}{\sqrt{F_{80}^{(2)}}}\right)\\\ &= 51{,}3 \times (0{,}031622777 - 0{,}02)\\\ &= 51{,}3 \times 0{,}011622777\\\ &\approx 0{,}5960480\\ \mathrm{kW\cdot h/ton}. \end{aligned}
Interpretação: cada tonelada precisa de aproximadamente 0{,}5960\\ \mathrm{kW\cdot h} nesta segunda etapa.

Passo 7

Calcular a potência adicional correspondente para a vazão de 120\\ \mathrm{ton/h}:
\begin{aligned} P^{(2)} &= 120\\ \mathrm{ton/h} \times 0{,}5960480\\ \mathrm{kW\cdot h/ton}\\\ &\approx 71{,}5258\\ \mathrm{kW}. \end{aligned}
Arredondando, P^{(2)} \approx 71{,}53\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Breve interpretação final (rápida e animadora): a primeira etapa demanda pouca potência porque a redução de tamanho é modesta; a segunda etapa (até 1\\ \mathrm{mm}) exige bem mais energia por tonelada. Se você for instalar moinhos, some essas potências e inclua perdas e eficiencia do sistema na prática — mas isso já é além do enunciado.

Resposta

(i) 25{,}79\\ \mathrm{kW}
(ii) 71{,}53\\ \mathrm{kW}

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