Estime a energia necessária para a redução de tamanho de uma partícula de 0,3 \mathrm{~cm} para 0,15 \mathrm{~cm} sabendo que o mesmo moinho consome 10 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} para reduzir o diâmetro da partícula de 1 cm para 0,5 \mathrm{~cm}. Considere:
(i) Lei de Kick;
(ii) Lei de Rittinger;
(iii) Qual ajuste se adequa melhor a esse processo?

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a energia específica necessária para reduzir o diâmetro de uma partícula de 0,3\\ \mathrm{cm} para 0,15\\ \mathrm{cm}, sabendo que o mesmo moinho consome 10\\ \mathrm{kJ/kg} para reduzir o diâmetro de 1\\ \mathrm{cm} para 0,5\\ \mathrm{cm}. Solicita-se que eu faça isso usando: (i) a Lei de Kick; (ii) a Lei de Rittinger; (iii) indique qual ajuste (qual lei) se adequa melhor ao processo.
Informações dadas (repetindo e organizando):
  • Energia conhecida: E_{\text{ref}} = 10\\ \mathrm{kJ/kg} para redução de D_{1,\text{ref}}=1\\ \mathrm{cm} para D_{2,\text{ref}}=0,5\\ \mathrm{cm}.
  • Caso a estimar: redução de D_1 = 0,3\\ \mathrm{cm} para D_2 = 0,15\\ \mathrm{cm}.
    Aqui não há ambiguidade nos dados: temos um caso de referência e um caso alvo. Vou calcular as constantes das leis a partir do caso de referência e aplicar ao caso alvo.

Passo 2

Lei de Kick: apresentação e significado das variáveis.
  • Fórmula (Lei de Kick): E = K \ln\!\left(\frac{D_1}{D_2}\right).
  • O que cada termo significa:
    • E é a energia específica consumida (em \mathrm{kJ/kg}).
    • K é uma constante característica do material/moinho (em \mathrm{kJ/kg}).
    • D_1 é o diâmetro inicial da partícula e D_2 o diâmetro final (nas mesmas unidades, aqui \mathrm{cm}).
  • Intuição didática: a Lei de Kick assume que a energia necessária depende do fator de redução relativo D_1/D_2 (razão adimensional). É adequada quando a fragmentação ocorre por fratura em que a energia escala com a redução relativa (muito usada em britagem grosseira).
Agora calculo a constante K usando o caso de referência. Substituo E_{\text{ref}}=10, D_{1,\text{ref}}=1, D_{2,\text{ref}}=0{,}5:
10 = K \ln\!\left(\frac{1}{0{,}5}\right) = K \ln(2).
Logo a constante é
K = \frac{10}{\ln(2)}.
Faço a conta (mostrando os passos): \ln(2)\approx 0{,}693147, então
K \approx \frac{10}{0{,}693147} \approx 14{,}426\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora aplico ao caso alvo D_1=0{,}3, D_2=0{,}15:
E = K \ln\!\left(\frac{0{,}3}{0{,}15}\right) = K \ln(2).
Como é a mesma razão D_1/D_2=2, temos
E = K \ln(2) = 10\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário didático: portanto, segundo Kick, reduções que correspondem ao mesmo fator (doubling ou halving) requerem a mesma energia específica, independentemente do tamanho absoluto, porque a lei depende só da razão.

Passo 3

Lei de Rittinger: apresentação, derivação rápida e significado das variáveis.
  • Fórmula (Lei de Rittinger): E = R\left(\frac{1}{D_2} - \frac{1}{D_1}\right).
  • Significado:
    • E é a energia específica ( \mathrm{kJ/kg}).
    • R é a constante de Rittinger ( \mathrm{kJ/kg} por unidade de D^{-1}; aqui se D está em \mathrm{cm}, R tem unidade \mathrm{kJ/kg\cdot cm}).
    • A motivação física: Rittinger assume que a energia é proporcional ao aumento da superfície específica (superfície por massa). Para partículas aproximadamente esféricas, a superfície por massa escala como 1/D; daí o termo (1/D_2-1/D_1). Essa lei costuma ser mais válida para moagem fina, quando a criação de superfície domina o gasto energético.
Calculo de R a partir do caso de referência: substituo E_{\text{ref}}=10, D_{1,\text{ref}}=1, D_{2,\text{ref}}=0{,}5:
10 = R\left(\frac{1}{0{,}5} - \frac{1}{1}\right) = R(2 - 1) = R\cdot 1.
Logo
R = 10\\ \mathrm{kJ/kg\cdot cm}.
Agora aplico ao caso alvo D_1=0{,}3, D_2=0{,}15: cálculo do parêntese
\frac{1}{0{,}15} - \frac{1}{0{,}3} = \frac{1}{0{,}15} - \frac{1}{0{,}3} = 6{,}666\ldots - 3{,}333\ldots = 3{,}333\ldots\\ \mathrm{cm}^{-1}.
Multiplicando por R=10:
E = 10 \times 3{,}333\ldots = 33{,}333\ldots\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 33{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário didático: Rittinger dá um valor maior porque para partículas menores a mesma razão de redução (halving) cria muito mais superfície absoluta por massa; portanto a energia estimada cresce quando D é pequeno.

Passo 4

Comparação numérica e interpretação física para escolher o ajuste mais adequado.
  • Resultados numéricos obtidos:
    • Lei de Kick: E_{\text{Kick}} = 10\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Lei de Rittinger: E_{\text{Ritt}} \approx 33{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Interpretação física e escolha do ajuste:
    • A Lei de Kick é baseada na razão de redução D_1/D_2. Ela costuma descrever bem britadores e processos de fragmentação grosseira, onde a fratura está dominando e a energia por redução relativa é aproximadamente constante. Observação importante: o caso de referência (1 cm → 0,5 cm) e o caso alvo (0,3 cm → 0,15 cm) têm a mesma razão (redução pela metade), e por isso Kick prevê a mesma energia.
    • A Lei de Rittinger enfatiza aumento de superfície e é mais adequada para moagem fina, onde a criação de superfície (e conseqüente trabalho para separar superfícies) domina o consumo de energia. Rittinger prevê que quanto menores os diâmetros absolutos, maior a energia para a mesma razão de redução.
  • No nosso caso prático: a redução é um “halving” em ambos os casos, mas os diâmetros absolutos do caso alvo (3 mm → 1,5 mm) já estão na faixa de partículas relativamente pequenas (milímetros). Em geral, para moagem que chega a partículas na faixa milimétrica a micrométrica, efeitos de criação de superfície começam a ser importantes; porém, se a operação e o moinho são do mesmo tipo de quebra (mesma mecânica) usada no teste de referência, e se o processo de ruptura continua sendo fratura grosseira (não moagem fina), a Lei de Kick tende a ajustar melhor. Sem dados experimentais adicionais sobre o material e o regime de moagem, a escolha definitiva é incerta; mas, considerando que o dado de referência e o equipamento são os mesmos e que a operação foi caracterizada por uma redução por fratura no caso de referência, a escolha prática mais conservadora é usar a Lei de Kick.
  • Conclusão prática: a Lei de Kick deve ser o ajuste mais adequado para estimativas rápidas quando o mecanismo de quebra permanece o mesmo (mesmo moinho, mesmo tipo de fratura). Rittinger pode superestimar a energia aqui se a geração de nova superfície não for o mecanismo dominante.

Passo 5

Resumo final e observações práticas rápidas (motivação para prova).
  • Método para prova: se você tem um caso de referência com a mesma máquina e o mesmo mecanismo de quebra, use a lei que foi empiricamente verificada com esse caso (aqui Kick se assumirmos mesma mecânica). Para reduzir pelo mesmo fator (halving) Kick dá a mesma energia independente do tamanho absoluto — é um ponto fácil de usar em prova quando pedem estimativa rápida.
  • Atenção na prova: sempre verifique se o enunciado sugere moagem fina (busque palavras como “moagem”, “pó”, “superfície”), aí prefira Rittinger; se fala de britadores, fragmentação grosseira, cascalho, prefira Kick. Se houver dados experimentais, ajuste a constante com esses dados.

Resposta

(i) 10\\ \mathrm{kJ/kg}
(ii) 33{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}
(iii) A Lei de Kick é, em geral, o ajuste mais adequado para este processo (considerando mesmo moinho e mesmo mecanismo de fratura); Rittinger tende a superestimar aqui, sendo mais apropriada para moagem fina.

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