Estime a energia necessária para a redução de tamanho de uma partícula de
para
sabendo que o mesmo moinho consome
para reduzir o diâmetro da partícula de 1 cm para
. Considere:
(i) Lei de Kick;
(ii) Lei de Rittinger;
(iii) Qual ajuste se adequa melhor a esse processo?
(i) Lei de Kick;
(ii) Lei de Rittinger;
(iii) Qual ajuste se adequa melhor a esse processo?
Passo 1
O enunciado pede que eu estime a energia específica necessária para reduzir o diâmetro de uma partícula de
para
, sabendo que o mesmo moinho consome
para reduzir o diâmetro de
para
. Solicita-se que eu faça isso usando: (i) a Lei de Kick; (ii) a Lei de Rittinger; (iii) indique qual ajuste (qual lei) se adequa melhor ao processo.
Informações dadas (repetindo e organizando):
Informações dadas (repetindo e organizando):
- Energia conhecida:
para redução de para . - Caso a estimar: redução de
para .
Aqui não há ambiguidade nos dados: temos um caso de referência e um caso alvo. Vou calcular as constantes das leis a partir do caso de referência e aplicar ao caso alvo.
Passo 2
Lei de Kick: apresentação e significado das variáveis.
- Fórmula (Lei de Kick):
- O que cada termo significa:
-
é a energia específica consumida (em ). -
é uma constante característica do material/moinho (em ). -
é o diâmetro inicial da partícula e o diâmetro final (nas mesmas unidades, aqui ).
-
- Intuição didática: a Lei de Kick assume que a energia necessária depende do fator de redução relativo
(razão adimensional). É adequada quando a fragmentação ocorre por fratura em que a energia escala com a redução relativa (muito usada em britagem grosseira).
Agora calculo a constante
usando o caso de referência. Substituo
,
,
:
Logo a constante é
Faço a conta (mostrando os passos):
, então
Agora aplico ao caso alvo
,
:
Como é a mesma razão
, temos
Comentário didático: portanto, segundo Kick, reduções que correspondem ao mesmo fator (doubling ou halving) requerem a mesma energia específica, independentemente do tamanho absoluto, porque a lei depende só da razão.
Passo 3
Lei de Rittinger: apresentação, derivação rápida e significado das variáveis.
- Fórmula (Lei de Rittinger):
- Significado:
-
é a energia específica ( ). -
é a constante de Rittinger ( por unidade de ; aqui se está em , tem unidade ). - A motivação física: Rittinger assume que a energia é proporcional ao aumento da superfície específica (superfície por massa). Para partículas aproximadamente esféricas, a superfície por massa escala como
; daí o termo . Essa lei costuma ser mais válida para moagem fina, quando a criação de superfície domina o gasto energético.
-
Calculo de
a partir do caso de referência: substituo
,
,
:
Logo
Agora aplico ao caso alvo
,
: cálculo do parêntese
Multiplicando por
:
Comentário didático: Rittinger dá um valor maior porque para partículas menores a mesma razão de redução (halving) cria muito mais superfície absoluta por massa; portanto a energia estimada cresce quando
é pequeno.
Passo 4
Comparação numérica e interpretação física para escolher o ajuste mais adequado.
- Resultados numéricos obtidos:
- Lei de Kick:
. - Lei de Rittinger:
.
- Lei de Kick:
- Interpretação física e escolha do ajuste:
- A Lei de Kick é baseada na razão de redução
. Ela costuma descrever bem britadores e processos de fragmentação grosseira, onde a fratura está dominando e a energia por redução relativa é aproximadamente constante. Observação importante: o caso de referência (1 cm → 0,5 cm) e o caso alvo (0,3 cm → 0,15 cm) têm a mesma razão (redução pela metade), e por isso Kick prevê a mesma energia. - A Lei de Rittinger enfatiza aumento de superfície e é mais adequada para moagem fina, onde a criação de superfície (e conseqüente trabalho para separar superfícies) domina o consumo de energia. Rittinger prevê que quanto menores os diâmetros absolutos, maior a energia para a mesma razão de redução.
- A Lei de Kick é baseada na razão de redução
- No nosso caso prático: a redução é um “halving” em ambos os casos, mas os diâmetros absolutos do caso alvo (3 mm → 1,5 mm) já estão na faixa de partículas relativamente pequenas (milímetros). Em geral, para moagem que chega a partículas na faixa milimétrica a micrométrica, efeitos de criação de superfície começam a ser importantes; porém, se a operação e o moinho são do mesmo tipo de quebra (mesma mecânica) usada no teste de referência, e se o processo de ruptura continua sendo fratura grosseira (não moagem fina), a Lei de Kick tende a ajustar melhor. Sem dados experimentais adicionais sobre o material e o regime de moagem, a escolha definitiva é incerta; mas, considerando que o dado de referência e o equipamento são os mesmos e que a operação foi caracterizada por uma redução por fratura no caso de referência, a escolha prática mais conservadora é usar a Lei de Kick.
- Conclusão prática: a Lei de Kick deve ser o ajuste mais adequado para estimativas rápidas quando o mecanismo de quebra permanece o mesmo (mesmo moinho, mesmo tipo de fratura). Rittinger pode superestimar a energia aqui se a geração de nova superfície não for o mecanismo dominante.
Passo 5
Resumo final e observações práticas rápidas (motivação para prova).
- Método para prova: se você tem um caso de referência com a mesma máquina e o mesmo mecanismo de quebra, use a lei que foi empiricamente verificada com esse caso (aqui Kick se assumirmos mesma mecânica). Para reduzir pelo mesmo fator (halving) Kick dá a mesma energia independente do tamanho absoluto — é um ponto fácil de usar em prova quando pedem estimativa rápida.
- Atenção na prova: sempre verifique se o enunciado sugere moagem fina (busque palavras como “moagem”, “pó”, “superfície”), aí prefira Rittinger; se fala de britadores, fragmentação grosseira, cascalho, prefira Kick. Se houver dados experimentais, ajuste a constante com esses dados.
Resposta
(i)
(ii)
(iii) A Lei de Kick é, em geral, o ajuste mais adequado para este processo (considerando mesmo moinho e mesmo mecanismo de fratura); Rittinger tende a superestimar aqui, sendo mais apropriada para moagem fina.
(ii)
(iii) A Lei de Kick é, em geral, o ajuste mais adequado para este processo (considerando mesmo moinho e mesmo mecanismo de fratura); Rittinger tende a superestimar aqui, sendo mais apropriada para moagem fina.