Pretende-se utilizar um filme plástico de PVC para fechar uma caixa de embalagem para armazenar, em um ambiente a
e 1 atm , uvas contendo
de uvas e com dimensões iguais a
na extremidade exposta ao ar. Sabendo-se que as uvas consomem
de oxigênio por segundo por kg de uva. Estime a espessura do filme de PVC necessária para manter a concentração de gás oxigênio gasoso dentro do recipiente menor ou igual a 5% em peso.
Dados:
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a espessura do filme de PVC necessário para fechar uma caixa que guarda uvas, garantindo que a concentração de oxigênio dentro da caixa não passe de 5% em peso. Para isso, vamos usar conceitos de difusão de gases através de materiais sólidos. Vamos precisar entender como o oxigênio se move através do PVC e quanto tempo leva para manter a concentração desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Massa de uvas: $ m_{uvas} = 0,5 , kg $
- Consumo de oxigênio pelas uvas: $ r = 9 \times 10^{-13} , kg O_2/s/kg uva $
- Temperatura: $ T = 25^{\circ}C $ (que é $ 298 , K $)
- Pressão: $ P = 1 , atm $
- Área da extremidade exposta ao ar: $ A = 10 , cm \times 10 , cm = 0,01 , m \times 0,01 , m = 1 \times 10^{-4} , m^2 $
- Concentração máxima de $ O2 $: $ C{máx} = 5% $ em peso
Passo 3
Vamos calcular a quantidade total de oxigênio que as uvas vão consumir ao longo do tempo $ t $. A taxa de consumo é dada por:
Queremos que esse consumo não aumente a concentração de $ O_2 $ além de 5% em peso dentro da caixa.
Passo 4
A quantidade de oxigênio que pode estar na caixa sem exceder 5% em peso é:
Onde $ m_{total} $ é a massa total dentro da caixa. Assumindo que a massa principal é das uvas, temos aproximadamente:
Passo 5
Igualamos o consumo total de $ O_2 $ ao máximo permitido:
Resolvendo para $ t $:
Convertendo para anos:
Isso indica que, sem permitir a saída de oxigênio, levaria muito tempo para atingir a concentração máxima. Portanto, precisamos que o oxigênio possa sair da caixa de forma eficiente.
Passo 6
Para que o oxigênio saia do recipiente, vamos considerar a difusão através do filme de PVC. A taxa de difusão $ J $ é dada pela lei de Fick:
Onde:
- $ D $ é o coeficiente de difusão do $ O_2 $ no PVC
- $ \Delta C $ é a diferença de concentração
- $ \Delta x $ é a espessura do filme
Queremos que a taxa de difusão seja igual à taxa de consumo das uvas.
Passo 7
Rearranjando a equação da difusão para encontrar a espessura $ \Delta x $:
Como estamos interessados apenas na magnitude, podemos ignorar o sinal:
Passo 8
Precisamos determinar $ D $, o coeficiente de difusão do $ O_2 $ no PVC. Suponha que $ D = 1 \times 10^{-12} , m^2/s $ (valor típico para gases em plásticos, mas esse valor pode variar conforme a fonte).
A diferença de concentração $ \Delta C $ será a concentração inicial de oxigênio na caixa menos a concentração final desejada. Se considerarmos que inicialmente a caixa estava cheia de ar com 21% de $ O_2 $, então:
Convertendo para fração:
A taxa $ J $ é a taxa de consumo de $ O_2 $, que já calculamos anteriormente.
Passo 9
Substituindo os valores na equação da espessura:
Passo 10
Obtemos uma espessura de aproximadamente 1,78 metros, o que é impraticável para um filme de PVC. Isso sugere que o valor assumido para o coeficiente de difusão $ D $ está muito baixo, ou que outros fatores precisam ser considerados, como a troca de gases através de outras partes da embalagem ou a utilização de materiais com maior permeabilidade ao $ O_2 $.
Resposta
A espessura estimada do filme de PVC necessária para manter a concentração de oxigênio dentro da caixa de uvas menor ou igual a 5% em peso é aproximadamente 1,78 metros. Contudo, esse valor é impraticável, indicando que outros métodos ou materiais devem ser considerados para alcançar o objetivo desejado.