Gás Hélio, a 4 bar e
, está armazenado em um tanque esférico de Pyrex com 100 mm de diâmetro interno e diâmetro externo igual a 120 mm . Determine:
a) Por meio de desenvolvimento matemático, uma expressão que permita calcular o fluxo perdido de gás na esfera a partir dos dados fornecidos.
a) Por meio de desenvolvimento matemático, uma expressão que permita calcular o fluxo perdido de gás na esfera a partir dos dados fornecidos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque esférico de Pyrex que está guardando gás hélio a uma certa pressão e temperatura. A gente precisa encontrar uma expressão matemática que nos permita calcular o fluxo perdido desse gás pela esfera, usando os dados que nos deram. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Difusão de Gases e a Lei de Fick, que descreve como os gases se movem através de materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo de gás perdido. Basicamente, é a quantidade de gás que está escapando do tanque por unidade de tempo. Para calcular isso, usamos a Lei de Fick, que relaciona o fluxo de difusão com a diferença de concentração do gás através do material e a área pela qual ele está passando.
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera, precisamos adaptar a Lei de Fick para uma geometria esférica. A forma geral da Lei de Fick em geometria esférica é:
Onde:
- $ J $ é o fluxo de gás perdido
- $ D $ é o coeficiente de difusão do gás no material
- $ A $ é a área pela qual o gás está passando
- $ \Delta C $ é a diferença de concentração do gás entre o interior e o exterior
- $ d $ é a espessura do material
Passo 4
Vamos determinar cada um desses componentes com os dados que temos:
-
Área $ A $: Como o tanque é esférico, a área superficial é dada por $ 4\pi r^2 $, onde $ r $ é o raio interno da esfera.
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Espessura $ d $: A espessura do material é a diferença entre o diâmetro externo e o interno, dividida por 2.
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Diferença de concentração $ \Delta C $: Podemos relacionar a pressão e a concentração usando a Lei dos Gases Ideais, considerando que $ C = \frac{P}{RT} $.Onde $ P_{externo} $ é a pressão atmosférica (assumimos que é 1 bar) e $ R $ é a constante dos gases.
Passo 5
Agora, juntando tudo na expressão da Lei de Fick:
Simplificando:
Resposta
A expressão para calcular o fluxo perdido de gás na esfera é: