Verifique se as equações de campo de velocidade descritas abaixo são referentes à escoamentos de fluidos compressíveis ou incompressíveis.
V(x, y)=-\ln (x+y) \boldsymbol{i}+\left(\frac{y}{x+y}\right) \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
\mathbf{V}(x,y) = -\ln(x+y)\,\mathbf{i} + \left(\frac{y}{x+y}\right)\mathbf{j},
e pede para verificar se esse campo representa um escoamento compressível ou incompressível.
Informações relevantes fornecidas:
  • Componente x: V_x(x,y) = -\ln(x+y).
  • Componente y: V_y(x,y) = \dfrac{y}{x+y}.
  • Domínio implícito: é preciso ter x+y>0 para que \ln(x+y) esteja definido e o denominador não seja zero.

Passo 2

Critério que vamos usar (explicando a ideia): para um escoamento incompressível de densidade constante, a condição matemática é que a divergência do campo de velocidade seja nula em todo o domínio, isto é
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}=0.
Se \nabla\cdot\mathbf{V}\neq 0 em algum ponto do domínio, o escoamento não é incompressível (ou seja, é compressível). Agora vamos calcular \nabla\cdot\mathbf{V} passo a passo.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial V_x}{\partial x}.
Temos V_x(x,y)=-\ln(x+y). Usando a regra da cadeia (derivada de \ln u é 1/u vezes u'):
\frac{\partial V_x}{\partial x} = -\frac{1}{x+y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y) = -\frac{1}{x+y}\cdot 1 = -\frac{1}{x+y}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial V_y}{\partial y}.
Temos V_y(x,y)=\dfrac{y}{x+y}. Uso a regra do quociente ou escrevo V_y=y\,(x+y)^{-1} e aplico produto+cadeia. Fazendo pelo quociente:
\frac{\partial V_y}{\partial y} = \frac{(1)(x+y)-y\cdot(1)}{(x+y)^2} = \frac{x+y-y}{(x+y)^2} = \frac{x}{(x+y)^2}.

Passo 5

Somando as derivadas para obter a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{V} = -\frac{1}{x+y} + \frac{x}{(x+y)^2}.
Colocando no mesmo denominador (x+y)^2:
\nabla\cdot\mathbf{V} = \frac{-(x+y)+x}{(x+y)^2} = \frac{-y}{(x+y)^2}.
Observação importante: essa expressão é, em geral, diferente de zero (por exemplo, para y\neq 0 e x+y>0). Só é zero na linha y=0 (quando definida), mas não é identicamente zero no domínio inteiro.

Passo 6

Interpretação física e conclusão didática: como \nabla\cdot\mathbf{V}=\dfrac{-y}{(x+y)^2} não é zero em geral, o campo de velocidade não é divergência‑nula em todo o domínio. Portanto o escoamento não satisfaz a condição de incompressibilidade (para densidade constante) — em outras palavras, trata‑se de um escoamento compressível. Também lembrar que o campo só está definido quando x+y>0.
Força aí — fez bem em pedir passo a passo; é esse tipo de conta simples (derivadas e soma) que costuma cair fácil na prova.

Resposta

Compressível

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