Verifique se as equações de campo de velocidade descritas abaixo são referentes à escoamentos de fluidos compressíveis ou incompressíveis.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
e pede para verificar se esse campo representa um escoamento compressível ou incompressível.
Informações relevantes fornecidas:
- Componente
: . - Componente
: . - Domínio implícito: é preciso ter
para que esteja definido e o denominador não seja zero.
Passo 2
Critério que vamos usar (explicando a ideia): para um escoamento incompressível de densidade constante, a condição matemática é que a divergência do campo de velocidade seja nula em todo o domínio, isto é
Se
em algum ponto do domínio, o escoamento não é incompressível (ou seja, é compressível). Agora vamos calcular
passo a passo.
Passo 3
Cálculo de
.
Temos
. Usando a regra da cadeia (derivada de
é
vezes
):
Passo 4
Cálculo de
.
Temos
. Uso a regra do quociente ou escrevo
e aplico produto+cadeia. Fazendo pelo quociente:
Passo 5
Somando as derivadas para obter a divergência:
Colocando no mesmo denominador
:
Observação importante: essa expressão é, em geral, diferente de zero (por exemplo, para
e
). Só é zero na linha
(quando definida), mas não é identicamente zero no domínio inteiro.
Passo 6
Interpretação física e conclusão didática: como
não é zero em geral, o campo de velocidade não é divergência‑nula em todo o domínio. Portanto o escoamento não satisfaz a condição de incompressibilidade (para densidade constante) — em outras palavras, trata‑se de um escoamento compressível. Também lembrar que o campo só está definido quando
.
Força aí — fez bem em pedir passo a passo; é esse tipo de conta simples (derivadas e soma) que costuma cair fácil na prova.
Resposta
Compressível