Equação característica dos autovalores:
(1-r)(-2-r)-(1)(4)=0 -2-r+2 r+r^2-4=0 r^2+r-6=0 Rightarrow r=-3 ou r=2
Autovetor para
r=-3 :
[cc (1+3) & 1 4 & (-2+3) ] cdot[l v1 v2 ]=[l 0 0 ] 4 v1+v2=0 Rightarrow v2=-4 v1 [l v1 v2 ]=[c 1 -4 ]
Autovetor para
r=2 :
[cc (1-2) & 1 4 & (-2-2) ] cdot[l v1 v2 ]=[l 0 0 ] -v1+v2=0 Rightarrow v2=v1 [l v1 v2 ]=[l 1 1 ]
Para a solução particular do sistema não-homogêneo, temos diferentes formas de resolver.
Método 1 (diagonalização): Utilizamos a matriz
T composta pelos autovetores e a matriz
D composta pelos autovalores:
T=[ll a1 & b1 a2 & b2 ]=[cc 1 & 1 -4 & 1 ] Rightarrow T^-1=15 cdot[cc 1 & -1 4 & 1 ] D=[cc r1 & 0 0 & r2 ]=[cc -3 & 0 0 & 2 ]
Substituindo o sistema:
Z=T cdot Y Z^prime=D cdot Z+T^-1 cdot g(x) [l z1^prime z2^prime ]=[cc -3 & 0 0 & 2 ] cdot[l z1 z2 ]+15 cdot[cc 1 & -1 4 & 1 ] cdot[c e^-2 x -2 e^x ] c z1^prime=-3 z1+15 e^-2 x+25 e^x z2^prime=2 z2+45 e^-2 x-25 e^x
Na primeira equação,
z1 h(x)=c1 e^-3 x Rightarrow já contemplada na solução homogênea do sistema.
z1 p(x)=A e^-2 x+B e^x z1 p^prime(x)=-2 A e^-2 x+B e^x (-2 A e^-2 x+B e^x)=-3(A e^-2 x+B e^x)+15 e^-2 x+25 e^x c -2 A=-3 A+15 B=-3 B+25 Rightarrow A=15, B=110
Na primeira equação,
z2 h(x)=c2 e^2 x Rightarrow já contemplada na solução homogênea do sistema.
z2 p(x)=C e^-2 x+D e^x z2 p^prime(x)=-2 C e^-2 x+D e^x (-2 C e^-2 x+D e^x)=2(C e^-2 x+D e^x)+45 e^-2 x-25 e^x c -2 C=2 C+45 D=2 D-25 Rightarrow C=-15, D=25
Z(t)=[c 15 e^-2 x+110 e^x -15 e^-2 x+25 e^x ]=15 cdot[c e^-2 x+12 e^x -e^-2 x+2 e^x ]
Retornando ao
Y :
Y=T cdot Z=[cc 1 & 1 -4 & 1 ] cdot 15 cdot[c e^-2 x+12 e^x -e^-2 x+2 e^x ] =15 cdot[c 52 e^x -5 e^-2 x ]=[c 12 e^x -e^-2 x ]
Solução geral:
Y(x)=c1 cdot[c 1 -4 ] cdot e^-3 x+c2 cdot[l 1 1 ] cdot e^2 x+[c 12 0 ] e^x+[c 0 -1 ] e^-2 x
Método 2 (coeficientes a determinar): Vamos supor a solução particular uma variação vetorial da parte não-homogênea da equação:
Yp(x)=A cdot e^-2 x+B cdot e^x Yp^prime(x)=-2 A cdot e^-2 x+B cdot e^x -2 A cdot e^-2 x+B cdot e^x=[cc 1 & 1 4 & -2 ] cdot(A cdot e^-2 x+B cdot e^x)+[c e^-2 x -2 e^x ] (-2-[cc 1 & 1 4 & -2 ]) cdot A cdot e^-2 x+(cc 1-[cc 1 & 1 4 & -2 ]) cdot B cdot e^x=[l 1 0 ] e^-2 x+[c 0 -2 ] e^x [cc -3 & -1 -4 & 0 ] cdot A=[l 1 0 ] A=-14 cdot[cc 0 & 1 4 & -3 ] cdot[l 1 0 ]=[c 0 -1 ] [cc 0 & -1 -4 & 3 ] cdot B=[c 0 -2 ] B=-14 cdot[ll 3 & 1 4 & 0 ] cdot[c 0 -2 ]=[l 12 0 ]
Solução geral:
Y(x)=c1 cdot[c 1 -4 ] cdot e^-3 x+c2 cdot[l 1 1 ] cdot e^2 x+[l 12 0 ] e^x+[c 0 -1 ] e^-2 x
Método 3 (variação de parâmetros)
Yh(x)=[cc e^-3 x & e^2 x -4 e^-3 x & e^2 x ] Yh(x) cdot U^prime(x)=g(x) [cc e^-3 x & e^2 x -4 e^-3 x & e^2 x ] cdot U^prime(t)=[c e^-2 x -2 e^x ] U^prime(x)=1e^-x+4 e^-x cdot[cc e^2 x & -e^2 x 4 e^-3 x & e^-3 x ] cdot[c e^-2 x -2 e^x ] =15 e^-x cdot[c 1+2 e^3 x 4 e^-5 x-2 e^-2 x ] =15 cdot[c e^x+2 e^4 x 4 e^-4 x-2 e^-x ] c U(x)=integral U(x) d x=15 cdot[c e^x+12 e^4 x -e^-4 x+2 e^-x ] Yp(x)=Yh(x) cdot U(x) =[cc e^-3 x & e^2 x -4 e^-3 x & e^2 x ] cdot 15 cdot[c e^x+12 e^4 x -e^-4 x+2 e^-x ] =15 cdot[c e^-2 x+12 e^x-e^-2 x+2 e^x -4 e^-2 x-2 e^x-e^-2 x+2 e^x ] =[c 12 e^x -e^-2 x ]=[c 12 0 ] e^x+[c 0 -1 ] e^-2 x
Solução geral:
Y(x)=c1 cdot[c 1 -4 ] cdot e^-3 x+c2 cdot[l 1 1 ] cdot e^2 x+[l 12 0 ] e^x+[c 0 -1 ] e^-2 x
Usando as condições iniciais:
Y(0)=c1 cdot[c 1 -4 ]+c2 cdot[l 1 1 ]+[l 12 0 ]+[c 0 -1 ]=[l 1 0 ] c c1+c2+12=1 -4 c1+c2-1=0 Rightarrow c1=-110, c2=35
Portanto,
Y(x)=-110 cdot[c 1 -4 ] cdot e^-3 x+35 cdot[l 1 1 ] cdot e^2 x+[l 12 0 ] e^x+[c 0 -1 ] e^-2 x
Método 4 (transformada de Laplace): Este método só pode ser usado com as condições iniciais:
s cdot Y(s)-Y(0)=[cc 1 & 1 4 & -2 ] cdot Y(s)+[l 1 0 ] cdot mathscrLe^-2 x+[c 0 -2 ] cdot mathscrLe^x s cdot Y(s)-[l 1 0 ]=[cc 1 & 1 4 & -2 ] cdot Y(s)+[l 1 0 ] cdot 1s+2+[c 0 -2 ] cdot 1s-1 (s-[cc 1 & 1 4 & -2 ]) cdot Y(s)=[c 1s+2 0 ]+[c 0 -2s-1 ]+[l 1 0 ] [cc s-1 & -1 -4 & s+2 ] cdot Y(s)=[c 1s+2+1 21-s ] Y(s)=1(s-1)(s+2)-4 cdot[cc s+2 & 1 4 & s-1 ] cdot[l s+3s+2 21-s ] Y(s)=1s^2+s-6 cdot[c s+3+21-s 4(s+3)s+2-2 ] Y(s)=1(s+3)(s-2) cdot[l s^2+2 s-5s-1 2 s+8s+2 ] Y1(s)=1(s+3)(s-2) cdot(s^2+2 s-5s-1)=s^2+2 s-5(s+3)(s-2)(s-1) frações parciais -110 cdot(1s+3)+35 cdot(1s-2)+12 cdot(1s-1) Rightarrow y1(x)=-110 cdot e^-3 x+35 cdot e^2 x+12 cdot e^x Y2(s)=1(s+3)(s-2) cdot(2 s+8s+2)=2 s+8(s+3)(s-2)(s+2) frações parciais 25 cdot(1s+3)+35 cdot(1s-2)-(1s+2) Rightarrow y2(x)=25 cdot e^-3 x+35 cdot e^2 x-e^-2 x ç õ ç õ
Portanto,
Y(x)=-110 cdot[c 1 -4 ] cdot e^-3 x+35 cdot[l 1 1 ] cdot e^2 x+[l 12 0 ] e^x+[c 0 -1 ] e^-2 x
Método 1 (diagonalização): Utilizamos a matriz
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais não-homogêneas de ordem 1
com condição inicial
Y(0)=l(1,0r)^T .
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes por decomposição em solução homogênea e particular, e depois aplicação da condição inicial.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes por decomposição em solução homogênea e particular, e depois aplicação da condição inicial.
Passo 2
Encontramos os autovalores resolvendo
Para
r=-3 o autovetor satisfaz
Para
r=2 o autovetor satisfaz
Passo 3
A solução geral da parte homogênea é
Passo 4
Procuramos solução particular por coeficientes a determinar na forma
com
A,BinR^2 .
Então
Então
e substituindo em
Y'=AY+g obtemos dois sistemas:
cuja resolução dá
Logo
Passo 5
A solução geral é
Impondo
Y(0)=(1,0)^T resulta no sistema