Sejam A, B e C inversíveis, determine X em cada equação:
((A X)^-1 B)^t=C

Passo 1

O enunciado dá três matrizes invertíveis A, B e C e pede para resolver a equação
l((A,X)^-1Br)^T=C
O conteúdo usado será a relação entre inversa e transposta e a propriedade de transposição de produto de matrizes.

Passo 2

Aplicamos a propriedade
(MN)^T=N^TM^T
à expressão l((A,X)^-1Br)^T:
l((A,X)^-1Br)^T = B^T,l((A,X)^-1r)^T

Passo 3

Agora usamos
(M^-1)^T=(M^T)^-1
com M=A,X, obtendo
l((A,X)^-1r)^T =l((A,X)^Tr)^-1 =l(X^TA^Tr)^-1 =(A^T)^-1(X^T)^-1
Logo a equação vira
B^T(A^T)^-1(X^T)^-1=C

Passo 4

Multiplicamos à direita por X^T para eliminar (X^T)^-1, e em seguida por C^-1 para isolar X^T:
B^T(A^T)^-1=C,X^T Longrightarrow X^T=B^T(A^T)^-1C^-1

Passo 5

Transpondo ambos os lados e usando
(PQ)^T=Q^TP^T ,
(C^-1)^T=(C^T)^-1
e
l((A^T)^-1r)^T=A^-1 ,
temos
X =l(B^T(A^T)^-1C^-1r)^T =(C^-1)^Tl((A^T)^-1r)^TB =(C^T)^-1A^-1B

Resposta

X=(C^T)^-1,A^-1,B

Exercícios relacionados