onde a força externa f(t)\) é dada por
\[f(t)=\begin{cases}e^{t}, & 0\le t<1,\\[4pt] 0, & t\ge 1.\end{cases}
O que se pede: encontrar a solução y(t)\] para \(t\ge0, isto é, a função y que satisfaz a EDO e as condições iniciais, levando em conta que f é definida por partes.
Informações relevantes fornecidas:
A EDO linear homogênea associada tem coeficientes constantes.
As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.
f(t) é igual a e^{t} no intervalo [0,1) e zero a partir de 1.
Precisaremos lidar com um termo forçante definido por partes (portanto é conveniente usar uma representação com função degrau).]
Passo 2
Escolhemos usar transformada de Laplace porque:
As condições iniciais são dadas em t=0 (facilita o uso da transformada).
f(t) é uma função definida por partes e pode ser escrita com a função degrau, o que torna a transformada direta usando o teorema do deslocamento.
Vou aplicar a transformada de Laplace à equação inteira, resolver algebricamente em s e então inverter.
Lembrando fórmulas úteis (explicado passo a passo quando usado):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0).
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a} para \Re(s)>a.
Se h(t) tem transformada H(s), então \mathcal{L}\{h(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}H(s) (teorema do deslocamento).
Passo 3
Escrever f(t) usando a função degrau u(t-1). Para t\ge0 podemos escrever
f(t)=e^{t}\bigl(1-u(t-1)\bigr).
Agora calculamos a transformada de f.
Primeiro, \mathcal{L}\{e^{t}\}=\dfrac{1}{s-1} (válido para \Re(s)>1).
Segundo, para \mathcal{L}\{e^{t}u(t-1)\} usamos o truque de escrever e^{t}=e\cdot e^{t-1} para t\ge1, isto é
e^{t}u(t-1)=e\cdot e^{t-1}u(t-1).
Aplicando o teorema do deslocamento com g(t)=e^{t} e a=1, temos \mathcal{L}\{e^{t-1}u(t-1)\}=e^{-s}\mathcal{L}\{e^{t}\}=e^{-s}\dfrac{1}{s-1}. Multiplicando por e dá
A ideia: Y_{1}(s) é produto de \dfrac{1}{s-1} e \dfrac{1}{(s+1)^{2}+1}. A transformada inversa de um produto é a convolução das transformadas inversas. Para Y_{2} usaremos o teorema do deslocamento (fator e^{-s}).
Passo 6
Calcular transformadas inversas básicas que usaremos.
onde no passo usamos a mudança de variável u=t-\tau e simplificamos fatores exponenciais (detalhes: após a substituição obtemos e^{t}\int_{0}^{t}e^{-2u}\sin u\,du).