Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução da EDO 6 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y=0 ; y_{1}=e^{x / 3}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de ordem 3
6\,y''' + y'' - y = 0
e diz que uma solução conhecida é y_{1}=e^{x/3}. A tarefa é usar redução de ordem para encontrar uma segunda solução independente de y_{1}.
Informações relevantes:
  • A EDO fornecida é \;6\,y'''+y''-y=0.\n
  • Foi dada a solução \;y_{1}=e^{x/3}.\n
  • O que se pede: encontrar uma segunda solução (outra função solução linearmente independente de y_{1}) usando redução de ordem.

Passo 2

Primeiro vou verificar se \;y_{1}=e^{x/3} satisfaz mesmo a EDO dada (sempre confira!).
Calculo as derivadas de \;y_{1}:
y_{1}'=\tfrac{1}{3}e^{x/3},\qquad y_{1}''=\tfrac{1}{9}e^{x/3},\qquad y_{1}'''=\tfrac{1}{27}e^{x/3}.
Substituindo em \;6y'''+y''-y obtém-se
6\cdot\tfrac{1}{27}e^{x/3}+\tfrac{1}{9}e^{x/3}-e^{x/3} =\bigl(\tfrac{2}{9}+\tfrac{1}{9}-1\bigr)e^{x/3} =\bigl(\tfrac{1}{3}-1\bigr)e^{x/3}=-\tfrac{2}{3}e^{x/3}\neq0.
Portanto, com a equação exatamente como escrita ( -y no termo final), \;y_{1}=e^{x/3} NÃO é solução. Isso indica um provável erro de digitação no enunciado. Uma hipótese natural (muito comum em exercícios) é que o termo final deveria ser -y' em vez de -y; com essa correção a EDO seria
6\,y'''+y''-y'=0,
e verificamos que \;y_{1}=e^{x/3} satisfaz essa equação (você pode checar substituindo). Vou então assumir essa forma corrigida \;6y'''+y''-y'=0 para prosseguir com a redução de ordem. Se o enunciado original realmente tivesse -y, não há como usar y_1=e^{x/3} como hipótese inicial porque não é solução.

Passo 3

O método de redução de ordem (quando se conhece uma solução y_{1} de uma EDO linear homogênea) consiste em procurar uma nova solução da forma
y=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função desconhecida. A vantagem é que, ao substituir, a EDO perde o termo em v (porque y_{1} é solução) e a equação para v tem ordem reduzida: para uma EDO de ordem 3 com uma solução conhecida reduzimos a ordem para uma equação de ordem 2 para v'. Vou aplicar isso passo a passo usando y_{1}=e^{x/3}.

Passo 4

Faço a substituição y=v(x)e^{x/3}. Primeiro calculo derivadas de y em termos de v:
\begin{aligned} y&=v e^{x/3},\\[4pt] y'&=v' e^{x/3}+\tfrac{1}{3}v e^{x/3}=e^{x/3}\bigl(v'+\tfrac{1}{3}v\bigr),\\[4pt] y''&=e^{x/3}\bigl(v''+\tfrac{2}{3}v'+\tfrac{1}{9}v\bigr),\\[4pt] y'''&=e^{x/3}\bigl(v''' + v'' + \tfrac{1}{3}v' + \tfrac{1}{27}v\bigr). \end{aligned}
(Expliquei cada coeficiente: por exemplo, ao derivar y'' aparece o fator \tfrac{1}{3} vindo da derivada de e^{x/3}; acompanhe os termos para ver como somam.)]

Passo 5

Substituo essas expressões na EDO corrigida \;6y'''+y''-y'=0 e fatoro e^{x/3} (que é nunca nulo):
6\bigl(v''' + v'' + \tfrac{1}{3}v' + \tfrac{1}{27}v\bigr) +\bigl(v''+\tfrac{2}{3}v'+\tfrac{1}{9}v\bigr) -\bigl(v'+\tfrac{1}{3}v\bigr)=0.
Agora agrupo termos por v''',v'',v',v:
6v'''+(6+1)v''+\Bigl(6\cdot\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}-1\Bigr)v' +\Bigl(6\cdot\tfrac{1}{27}+\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{3}\Bigr)v=0.
Calculando os coeficientes:
6v'''+7v''+\tfrac{5}{3}v'+0\cdot v=0.
O termo em v cancelou (isso ocorre porque y_{1} é solução), ficando somente derivadas de v. Isto permite uma integração a menos: defino p(x)=v'(x) e obtém-se uma EDO de segunda ordem para p.

Passo 6

Com p=v' temos v''=p' e v'''=p''. Substituindo:
6p''+7p'+\tfrac{5}{3}p=0.
Multiplico por 3 para eliminar fração:
18p''+21p'+5p=0.
Esta é uma EDO linear homogênea de ordem 2 com coeficientes constantes; vamos resolver pela equação característica.

Passo 7

A equação característica é
18r^{2}+21r+5=0.
Calculo o discriminante:
\Delta=21^{2}-4\cdot18\cdot5=441-360=81,\quad \sqrt{\Delta}=9.
As raízes são
r=\frac{-21\pm9}{36}.
Logo
r_{1}=\frac{-12}{36}=-\tfrac{1}{3},\qquad r_{2}=\frac{-30}{36}=-\tfrac{5}{6}.
Assim as soluções para p são
p(x)=C_{1}e^{-x/3}+C_{2}e^{-5x/6}.

Passo 8

Integro p=v' para obter v:
v(x)=\int p(x)\,dx=C_{1}\int e^{-x/3}dx + C_{2}\int e^{-5x/6}dx + C_{3}.
As integrais são fáceis:
\int e^{-x/3}dx=-3e^{-x/3},\qquad \int e^{-5x/6}dx=-\tfrac{6}{5}e^{-5x/6}.
Portanto
v(x)=C_{3}-3C_{1}e^{-x/3}-\tfrac{6}{5}C_{2}e^{-5x/6}.

Passo 9

Volto à solução y=v e^{x/3}:
y(x)=v(x)e^{x/3}=C_{3}e^{x/3}-3C_{1}e^{x/3}e^{-x/3}-\tfrac{6}{5}C_{2}e^{x/3}e^{-5x/6}.
Simplificando os expoentes:
y(x)=C_{3}e^{x/3}-3C_{1}\cdot 1 -\tfrac{6}{5}C_{2}e^{-x/2}.
Renomeando constantes de combinação linear, a solução geral (do problema corrigido) é uma combinação linear das três soluções independentes
e^{x/3},\quad 1,\quad e^{-x/2}.
Assim, além de y_{1}=e^{x/3}, duas outras soluções independentes são y=1 e y=e^{-x/2}. Como o pedido era encontrar uma segunda solução independente de y_{1}, posso escolher qualquer uma destas; a mais simples é y_{2}=1.

Resposta

y_{2}=1

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