Use redução de ordem para encontrar uma segunda solução da EDO
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de ordem 3
e diz que uma solução conhecida é
. A tarefa é usar redução de ordem para encontrar uma segunda solução independente de
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A EDO fornecida é
.\n - Foi dada a solução
.\n - O que se pede: encontrar uma segunda solução (outra função solução linearmente independente de
) usando redução de ordem.
Passo 2
Primeiro vou verificar se
satisfaz mesmo a EDO dada (sempre confira!).
Calculo as derivadas de :
Calculo as derivadas de
Substituindo em
obtém-se
Portanto, com a equação exatamente como escrita (
no termo final),
NÃO é solução. Isso indica um provável erro de digitação no enunciado. Uma hipótese natural (muito comum em exercícios) é que o termo final deveria ser
em vez de
; com essa correção a EDO seria
e verificamos que
satisfaz essa equação (você pode checar substituindo). Vou então assumir essa forma corrigida
para prosseguir com a redução de ordem. Se o enunciado original realmente tivesse
, não há como usar
como hipótese inicial porque não é solução.
Passo 3
O método de redução de ordem (quando se conhece uma solução
de uma EDO linear homogênea) consiste em procurar uma nova solução da forma
onde
é uma função desconhecida. A vantagem é que, ao substituir, a EDO perde o termo em
(porque
é solução) e a equação para
tem ordem reduzida: para uma EDO de ordem 3 com uma solução conhecida reduzimos a ordem para uma equação de ordem 2 para
. Vou aplicar isso passo a passo usando
.
Passo 4
Faço a substituição
. Primeiro calculo derivadas de
em termos de
:
(Expliquei cada coeficiente: por exemplo, ao derivar
aparece o fator
vindo da derivada de
; acompanhe os termos para ver como somam.)]
Passo 5
Substituo essas expressões na EDO corrigida
e fatoro
(que é nunca nulo):
Agora agrupo termos por
:
Calculando os coeficientes:
O termo em
cancelou (isso ocorre porque
é solução), ficando somente derivadas de
. Isto permite uma integração a menos: defino
e obtém-se uma EDO de segunda ordem para
.
Passo 6
Com
temos
e
. Substituindo:
Multiplico por
para eliminar fração:
Esta é uma EDO linear homogênea de ordem 2 com coeficientes constantes; vamos resolver pela equação característica.
Passo 7
A equação característica é
Calculo o discriminante:
As raízes são
Logo
Assim as soluções para
são
Passo 8
Integro
para obter
:
As integrais são fáceis:
Portanto
Passo 9
Volto à solução
:
Simplificando os expoentes:
Renomeando constantes de combinação linear, a solução geral (do problema corrigido) é uma combinação linear das três soluções independentes
Assim, além de
, duas outras soluções independentes são
e
. Como o pedido era encontrar uma segunda solução independente de
, posso escolher qualquer uma destas; a mais simples é
.