Resolva a EDO
y^{\prime}+y=U(t-1) ; y(0)=0
OBS: \mathrm{U}(\mathrm{t}-1) é o degrau unitário.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial ordinária com condição inicial:
y'(t)+y(t)=U(t-1),\qquad y(0)=0.
Informações dadas e perguntas implícitas:
\text{Dado: } U(t-1)\text{ é o degrau unitário (Heaviside), ou seja}éá
U(t-1)=\begin{cases}0,&t<1,\\\ 1,&t>1,\end{cases}
(escolher o valor em t=1 não altera a solução em quase todo lugar). A pergunta é encontrar y(t) para t\ge 0 que satisfaça a EDO e a condição inicial.

Passo 2

Por causa da presença do degrau U(t-1), o lado direito da EDO muda em t=1. Isso indica que devemos resolver a EDO em dois intervalos onde a força é diferente:
  • para 0\le t<1: a EDO fica com o termo fonte igual a zero;
  • para t\ge 1: a EDO fica com o termo fonte igual a um.
    Além disso, como a EDO é de primeira ordem e a força é limitada, a solução y(t) será contínua em t=1. Usaremos a condição inicial em t=0 para a primeira parte e a continuidade em t=1 para iniciar a segunda parte.

Passo 3

Resolver para 0\le t<1. Nesse intervalo U(t-1)=0, então a EDO reduz a
y'(t)+y(t)=0.
Esta é uma EDO linear homogênea de primeira ordem. Podemos escrever
\frac{dy}{dt}=-y
e separar variáveis:
\frac{dy}{y}=-dt.
Integrando ambos os lados:
\ln|y|=-t+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
y(t)=C_e e^{-t},
onde chamei a constante de C_e. Agora aplico a condição inicial y(0)=0:
y(0)=C_e e^{0}=C_e=0.
Portanto, para 0\le t<1,
y(t)=0.

Passo 4

Determinar o valor de y(1) e usar continuidade. Pela solução do passo anterior temos
\lim_{t\to 1^-} y(t)=0,
e como a solução é contínua, y(1)=0. Isso será a condição inicial para a segunda parte (o problema é causal: nada acontece antes de t=1 porque o degrau só liga aí).

Passo 5

Resolver para t\ge 1. Neste intervalo U(t-1)=1 e a EDO é
y'(t)+y(t)=1,
com condição inicial y(1)=0. Vamos usar o método do fator integrante (um jeito padrão e direto para EDOs lineares de primeira ordem).
Explicando o método rapidamente: para uma EDO do tipo
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t),
o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt},
que transforma a equação em
\frac{d}{dt}\big(\mu(t) y(t)\big)=\mu(t) q(t).
Aqui temos p(t)=1 e q(t)=1, então
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.

Passo 6

Multiplicando a EDO por \mu(t)=e^{t} obtemos
e^{t}y'(t)+e^{t}y(t)=e^{t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}y(t)\big)=e^{t}.
Integramos ambos os lados de t=1 até um t\ge 1 (assim já usamos a condição y(1)=0 de forma direta):
\int_{1}^{t}\frac{d}{ds}\big(e^{s}y(s)\big)\,ds=\int_{1}^{t} e^{s}\,ds.
A integração dá
e^{t}y(t)-e^{1}y(1)=e^{t}-e^{1}.
Como y(1)=0, obtemos
e^{t}y(t)=e^{t}-e^{1}.
Dividindo por e^{t},
y(t)=1-e^{1-t}.
Reescrevendo de forma mais intuitiva:
y(t)=1-e^{-(t-1)}\qquad\text{para }t\ge 1.
Verifique que em t=1 isso dá y(1)=1-e^{0}=0, compatível com a continuidade.

Passo 7

Resumo e interpretação rápida: para 0\le t<1 a entrada é zero e a solução permanece zero; a partir de t=1 a entrada se torna constante igual a 1 e a solução cresce exponencialmente do valor inicial zero até o regime permanente y=1, com constante de tempo 1 (porque o termo é e^{-(t-1)}).

Resposta

y(t)=0,\quad 0\le t<1
y(t)=1-e^{-(t-1)},\quad t\ge 1

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