Resolva a EDO
OBS:
é o degrau unitário.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial ordinária com condição inicial:
Informações dadas e perguntas implícitas:
(escolher o valor em
não altera a solução em quase todo lugar). A pergunta é encontrar
para
que satisfaça a EDO e a condição inicial.
Passo 2
Por causa da presença do degrau
, o lado direito da EDO muda em
. Isso indica que devemos resolver a EDO em dois intervalos onde a força é diferente:
- para
: a EDO fica com o termo fonte igual a zero; - para
: a EDO fica com o termo fonte igual a um.
Além disso, como a EDO é de primeira ordem e a força é limitada, a soluçãoserá contínua em . Usaremos a condição inicial em para a primeira parte e a continuidade em para iniciar a segunda parte.
Passo 3
Resolver para
. Nesse intervalo
, então a EDO reduz a
Esta é uma EDO linear homogênea de primeira ordem. Podemos escrever
e separar variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
onde chamei a constante de
. Agora aplico a condição inicial
:
Portanto, para
,
Passo 4
Determinar o valor de
e usar continuidade. Pela solução do passo anterior temos
e como a solução é contínua,
. Isso será a condição inicial para a segunda parte (o problema é causal: nada acontece antes de
porque o degrau só liga aí).
Passo 5
Resolver para
. Neste intervalo
e a EDO é
com condição inicial
. Vamos usar o método do fator integrante (um jeito padrão e direto para EDOs lineares de primeira ordem).
Explicando o método rapidamente: para uma EDO do tipo
o fator integrante é
que transforma a equação em
Aqui temos
e
, então
Passo 6
Multiplicando a EDO por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Integramos ambos os lados de
até um
(assim já usamos a condição
de forma direta):
A integração dá
Como
, obtemos
Dividindo por
,
Reescrevendo de forma mais intuitiva:
Verifique que em
isso dá
, compatível com a continuidade.
Passo 7
Resumo e interpretação rápida: para
a entrada é zero e a solução permanece zero; a partir de
a entrada se torna constante igual a 1 e a solução cresce exponencialmente do valor inicial zero até o regime permanente
, com constante de tempo
(porque o termo é
).