Resolva a EDO
OBS:
é o degrau unitário.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial
As informações relevantes que temos são:
(observação: o valor em
não altera a solução da EDO pois é um ponto isolado).
A tarefa é achar a função para
que satisfaz a EDO e a condição inicial.]
A tarefa é achar a função
Passo 2
Analisamos a equação em intervalos onde a força
é constante. Primeiro, para
temos
, então a EDO fica
Esta é a equação homogênea de primeira ordem. Para resolvê-la procedemos assim: separamos variáveis ou reconhecemos a forma. A solução geral é
onde
é constante. Aplicando a condição inicial
obtemos
Portanto, para
Passo 3
Precisamos saber a condição inicial para o intervalo
. A solução encontrada para
dá o valor limite à esquerda em
:
Agora argumento importante: a EDO não tem termos impulsivos (delta de Dirac), apenas um salto no termo fonte
. Integrando a EDO numa vizinhança pequena de
e fazendo o limite, encontra-se que
é contínua em
. Logo
Assim a condição inicial para a equação válida em
é
.
Passo 4
Para
temos
, então a EDO é
Vou resolver usando o fator integrante (método padrão para equações lineares de 1ª ordem). Regra geral: para uma EDO
o fator integrante é
Aqui
, então
Multiplicando a EDO por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Agora integramos ambos os lados entre
(ponto onde temos a condição) e um
:
Calculamos a integral:
Substituindo
temos
logo
Dividindo por
encontramos, para
,
Observe a simplificação:
.
Passo 5
Juntando os resultados dos dois intervalos, a solução completa para
é a função por partes
Alternativamente podemos expressar a mesma solução usando o degrau unitário:
Passo 6
Verificação rápida (conferência útil na prova): para
temos
e então
. Para
calculamos
portanto
confirmando que a solução está correta e satisfaz a EDO e a condição inicial.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (resumindo o método):
- Separe o problema em intervalos onde o lado direito é simples (aqui o degrau gera dois intervalos).
- Resolva a homogênea e aplique a condição inicial no primeiro intervalo.
- Use continuidade de
em pontos de salto (justifique integrando a EDO sobre um pequeno intervalo). - No segundo intervalo, aplique o fator integrante ou procure solução particular constante quando a força for constante.
- Verifique substituindo para evitar erros de sinais.