Resolva a EDO
y^{\prime}+y=U(t-1) ; y(0)=0 .
OBS: \mathrm{U}(\mathrm{t}-1) é o degrau unitário.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial
y'(t)+y(t)=U(t-1),\qquad y(0)=0.
As informações relevantes que temos são:
U(t-1)=\begin{cases} 0, & t<1,\\[4pt] 1, & t>1, \end{cases}
(observação: o valor em t=1 não altera a solução da EDO pois é um ponto isolado).
A tarefa é achar a função y(t) para t\ge0 que satisfaz a EDO e a condição inicial.]

Passo 2

Analisamos a equação em intervalos onde a força U(t-1) é constante. Primeiro, para 0\le t<1 temos U(t-1)=0, então a EDO fica
y'(t)+y(t)=0.
Esta é a equação homogênea de primeira ordem. Para resolvê-la procedemos assim: separamos variáveis ou reconhecemos a forma. A solução geral é
y(t)=C e^{-t},
onde C é constante. Aplicando a condição inicial y(0)=0 obtemos
y(0)=C e^{0}=C=0.
Portanto, para 0\le t<1
y(t)=0.

Passo 3

Precisamos saber a condição inicial para o intervalo t\ge1. A solução encontrada para t<1 dá o valor limite à esquerda em t=1:
y(1^-)=0.
Agora argumento importante: a EDO não tem termos impulsivos (delta de Dirac), apenas um salto no termo fonte U. Integrando a EDO numa vizinhança pequena de t=1 e fazendo o limite, encontra-se que y é contínua em t=1. Logo
y(1)=y(1^-)=0.
Assim a condição inicial para a equação válida em t\ge1 é y(1)=0.

Passo 4

Para t\ge1 temos U(t-1)=1, então a EDO é
y'(t)+y(t)=1.
Vou resolver usando o fator integrante (método padrão para equações lineares de 1ª ordem). Regra geral: para uma EDO
y'+p(t)y=g(t),
o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Aqui p(t)=1, então
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtemos
e^{t}y'(t)+e^{t}y(t)=e^{t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{t}y(t), isto é,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}y(t)\bigr)=e^{t}.
Agora integramos ambos os lados entre t=1 (ponto onde temos a condição) e um t\ge1:
e^{t}y(t)-e^{1}y(1)=\int_{1}^{t} e^{s}\,ds.
Calculamos a integral:
\int_{1}^{t} e^{s}\,ds=e^{t}-e^{1}.
Substituindo y(1)=0 temos
e^{t}y(t)-e^{1}\cdot 0 = e^{t}-e^{1},
logo
e^{t}y(t)=e^{t}-e^{1}.
Dividindo por e^{t} encontramos, para t\ge1,
y(t)=1-e^{1}e^{-t}=1-e^{-(t-1)}.
Observe a simplificação: e^{1}e^{-t}=e^{-(t-1)}.

Passo 5

Juntando os resultados dos dois intervalos, a solução completa para t\ge0 é a função por partes
y(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<1,\\[4pt] 1-e^{-(t-1)}, & t\ge1. \end{cases}
Alternativamente podemos expressar a mesma solução usando o degrau unitário:
y(t)=\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr)U(t-1).]

Passo 6

Verificação rápida (conferência útil na prova): para t<1 temos y=0 e então y'+y=0=U(t-1). Para t>1 calculamos
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr)=e^{-(t-1)},
portanto
y'(t)+y(t)=e^{-(t-1)}+\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr)=1=U(t-1),
confirmando que a solução está correta e satisfaz a EDO e a condição inicial.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (resumindo o método):
  • Separe o problema em intervalos onde o lado direito é simples (aqui o degrau gera dois intervalos).
  • Resolva a homogênea e aplique a condição inicial no primeiro intervalo.
  • Use continuidade de y em pontos de salto (justifique integrando a EDO sobre um pequeno intervalo).
  • No segundo intervalo, aplique o fator integrante ou procure solução particular constante quando a força for constante.
  • Verifique substituindo para evitar erros de sinais.

Resposta

y(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<1,\\[4pt] 1-e^{-(t-1)}, & t\ge1, \end{cases}
y(t)=\bigl(1-e^{-(t-1)}\bigr)U(t-1).]

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