1. y^{\prime \prime}+4 y=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leq t<1, \\\\ 1, & 1 \leq t<\infty ;\end{array} \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com condições iniciais:
y''+4y=\begin{cases}1, & 0\le t<1,\\[4pt] 1, & 1\le t<\infty,\end{cases} \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes:
  • O termo do lado direito é igual a \,1 em todo o domínio dado (ou seja, a força externa é constante igual a \,1 para t\ge0).
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.
    O que o problema pede: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais para t\ge0.]

Passo 2

Interpretação da peça do lado direito (observação importante antes de resolver):
  • O lado direito é igual a \,1 tanto para 0\le t<1 quanto para 1\le t<\infty. Portanto, não há mudança efetiva na função forçante: é simplesmente a constante \,1 para todo t\ge0.
    Consequentemente, a equação que vamos resolver é
y''+4y=1,\qquad t\ge0,
com as mesmas condições iniciais.

Passo 3

Resolver primeiro a equação homogênea associada (isso dá a “parte livre” da solução).
A homogênea é
y_h''+4y_h=0.
Para resolver, usamos a equação característica: suponha y_h(t)=e^{rt}. Substituindo dá
r^2+4=0.
As raízes são
r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0,\beta=2), a solução geral real da homogênea é combinação de cosseno e seno:
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação rápida do porquê: e^{i2t}=\cos2t+i\sin2t; as combinações lineares reais de \cos2t e \sin2t formam o espaço de soluções reais da homogênea.

Passo 4

Procurar uma solução particular y_p da equação não homogênea. O lado direito é a constante 1. Uma técnica simples para termos constantes é tentar uma solução particular constante:
y_p(t)=A,\qquad A=\text{constante}.
Substituindo em \,y''+4y=1 temos y_p''=0, então
0+4A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{4}.
Observação: é válido tentar constante porque r=0 não é raiz da equação característica r^2+4=0; se fosse raiz, o palpite precisaria ser multiplicado por t.

Passo 5

Construir a solução geral como soma da homogênea e da particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\frac{1}{4}.

Passo 6

Calcular a derivada para aplicar a condição inicial em y':
y'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t).
(Observação: a constante \tfrac{1}{4} some ao derivar.)

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeira condição: y(0)=0.
Substituindo t=0 em y(t):
y(0)=C_1\cos0+C_2\sin0+\frac{1}{4}=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + \frac{1}{4}=C_1+\frac{1}{4}.
Como y(0)=0, temos
C_1+\frac{1}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad C_1=-\frac{1}{4}.
Segunda condição: y'(0)=0.
Substituindo t=0 em y'(t):
y'(0)=-2C_1\sin0+2C_2\cos0=0+2C_2\cdot 1=2C_2.
Como y'(0)=0, segue
2C_2=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.

Passo 8

Substituir C_1 e C_2 na solução geral:
y(t)=-\frac{1}{4}\cos(2t)+0\cdot\sin(2t)+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2t)\bigr).

Passo 9

Simplificar a expressão usando identidade trigonométrica para uma forma mais compacta:
A identidade de redução é
1-\cos(2t)=2\sin^2(t).
Aplicando:
y(t)=\frac{1}{4}\bigl(1-\cos(2t)\bigr)=\frac{1}{4}\cdot 2\sin^2(t)=\frac{1}{2}\sin^2(t).
Essa forma é frequentemente mais intuitiva (mostra que y\ge0, tem amplitude e frequência claras).

Passo 10

Verificação rápida (checar que a solução realmente satisfaz a equação):
Calcular y'' a partir de y(t)=\tfrac{1}{2}\sin^2 t ou a partir de y(t)=\tfrac{1}{4}(1-\cos2t). Usando y(t)=\tfrac{1}{4}(1-\cos2t),
y'(t)=\tfrac{1}{4}\cdot(0-(-2\sin2t))=\tfrac{1}{2}\sin2t,
y''(t)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cos2t=\cos2t.
Então
y''+4y=\cos2t +4\cdot\frac{1}{4}(1-\cos2t)=\cos2t + (1-\cos2t)=1,
confirmação completa de que a equação é satisfeita. As condições iniciais também são satisfeitas (ver Passo 7).

Resposta

y(t)=\tfrac{1}{2}\sin^2(t),\qquad t\ge0.

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