O termo do lado direito é igual a \,1 em todo o domínio dado (ou seja, a força externa é constante igual a \,1 para t\ge0).
As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.
O que o problema pede: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais para t\ge0.]
Passo 2
Interpretação da peça do lado direito (observação importante antes de resolver):
O lado direito é igual a \,1 tanto para 0\le t<1 quanto para 1\le t<\infty. Portanto, não há mudança efetiva na função forçante: é simplesmente a constante \,1 para todo t\ge0.
Consequentemente, a equação que vamos resolver é
y''+4y=1,\qquad t\ge0,
com as mesmas condições iniciais.
Passo 3
Resolver primeiro a equação homogênea associada (isso dá a “parte livre” da solução).
A homogênea é
y_h''+4y_h=0.
Para resolver, usamos a equação característica: suponha y_h(t)=e^{rt}. Substituindo dá
r^2+4=0.
As raízes são
r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta (aqui \alpha=0,\beta=2), a solução geral real da homogênea é combinação de cosseno e seno:
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação rápida do porquê: e^{i2t}=\cos2t+i\sin2t; as combinações lineares reais de \cos2t e \sin2t formam o espaço de soluções reais da homogênea.
Passo 4
Procurar uma solução particular y_p da equação não homogênea. O lado direito é a constante 1. Uma técnica simples para termos constantes é tentar uma solução particular constante:
y_p(t)=A,\qquad A=\text{constante}.
Substituindo em \,y''+4y=1 temos y_p''=0, então
0+4A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{4}.
Observação: é válido tentar constante porque r=0 não é raiz da equação característica r^2+4=0; se fosse raiz, o palpite precisaria ser multiplicado por t.
Passo 5
Construir a solução geral como soma da homogênea e da particular:
Essa forma é frequentemente mais intuitiva (mostra que y\ge0, tem amplitude e frequência claras).
Passo 10
Verificação rápida (checar que a solução realmente satisfaz a equação):
Calcular y'' a partir de y(t)=\tfrac{1}{2}\sin^2 t ou a partir de y(t)=\tfrac{1}{4}(1-\cos2t). Usando y(t)=\tfrac{1}{4}(1-\cos2t),