Seja S o sólido que está situado simultaneamente no interior das superfícies
81 x^{2}+81 y^{2}+z^{2}=81 \text { e } z=\sqrt{7 x^{2}+7 y^{2}} .
Suponha que a densidade de massa de S seja dada por f(x, y, z)=4\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} z.
Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas que permitem calcular a massa do sólido S e, a seguir, responda aos seguintes itens:
a) Em coordenadas cilíndricas, basta uma única integral para calcular a massa de \boldsymbol{S}.
Tomando \boldsymbol{z} como variável totalmente dependente, \boldsymbol{r} como variável parcialmente dependente e \boldsymbol{\theta} como variável independente, e SEM USAR SIMETRIA, têm-se que os limitantes dessa integral são:
i) z \in[ □ , □ ]
ii) \boldsymbol{r} \in[\mathbf{0}, □ ]
iii) \theta \in[0, □ ]
Além disso, o integrando (já considerando o elemento infinitesimal de volume), é dado por
\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{d} \boldsymbol{V}= d z d r d \theta.
b) Em coordenadas esféricas, basta uma única integral para calcular a massa de S. Tomando \rho como variável totalmente dependente e \varphi como variável parcialmente dependente e SEM USAR SIMETRIA, têm-se que os limitantes dessas integrais são:
i) \rho \in[0, □ ]
ii) \varphi \in[0, □ ]
Os limitantes para \theta não precisam ser informados, pois são os mesmos que em cilíndricas. Além disso, o integrando (já considerando o elemento infinitesimal de volume), é dado por
f \cdot d V= d \rho d \varphi d \theta.

Passo 1

O enunciado dá o sólido S definido simultaneamente pelas duas superfícies
81x^{2}+81y^{2}+z^{2}=81
e
z=\sqrt{7x^{2}+7y^{2}},
e a densidade
f(x,y,z)=4\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3}z.
Pede-se montar as integrais triplas para a massa em coordenadas cilíndricas e em esféricas e, em seguida, preencher os limitantes e o integrando (já com o elemento de volume) nos formatos indicados nos itens (a) e (b). Vou determinar as equações das superfícies em coordenadas apropriadas, achar a curva de interseção (para o limite radial / angular) e transformar a densidade e o elemento de volume.

Passo 2

Passo para coordenadas cilíndricas. Em cilíndricas usamos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z.
  • A segunda superfície (cone) fica
z=\sqrt{7x^{2}+7y^{2}}=\sqrt{7}\,r.
  • A primeira superfície (elipsoide) com x^{2}+y^{2}=r^{2} fica
81r^{2}+z^{2}=81\quad\Longrightarrow\quad z^{2}=81(1-r^{2}),
ou seja as porções superiores/inferiores são z=\pm 9\sqrt{1-r^{2}}. Como o cone dado tem z\ge0, a região de interesse fica na parte superior, entre o cone e a cúpula superior do elipsoide:
z\\ \text{entre}\\ \sqrt{7}\,r\\ \text{e}\\\ 9\sqrt{1-r^{2}}.
  • A curva de interseção ( z comum às duas superfícies) obtém-se impondo z^{2}=7r^{2} e z^{2}=81(1-r^{2}). Igualando:
7r^{2}=81(1-r^{2}) \quad\Longrightarrow\quad 7r^{2}=81-81r^{2}
\Longrightarrow\quad 88r^{2}=81 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=\frac{81}{88}.
Logo o raio máximo de integração é
r_{\max}=\frac{9}{\sqrt{88}}.

Passo 3

Transformação da densidade e do elemento de volume em cilíndricas.
  • Na densidade, x^{2}+y^{2}=r^{2}, então
f(x,y,z)=4\bigl(r^{2}\bigr)^{3}z=4r^{6}z.
  • O elemento de volume em cilíndricas é dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Multiplicando, o integrando (densidade vezes dV) fica
f\,dV = 4r^{6}z\cdot r\,dz\,dr\,d\theta = 4r^{7}z\,dz\,dr\,d\theta.
Portanto, o integral em cilíndricas toma a forma (conceitual)
\int_{\theta=\;0}^{2\pi}\int_{r=0}^{r_{\max}}\int_{z=\sqrt{7}\,r}^{\,9\sqrt{1-r^{2}}} 4r^{7}z\,dz\,dr\,d\theta,
com r_{\max} calculado acima.

Passo 4

Agora passo para coordenadas esféricas. Em esféricas usamos x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\;y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\;z=\rho\cos\varphi.
  • A equação do cone z=\sqrt{7}\,r em esféricas é
\rho\cos\varphi = \sqrt{7}\cdot \rho\sin\varphi \quad(\rho>0)
\Longrightarrow\quad \cos\varphi = \sqrt{7}\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi=\frac{1}{\sqrt{7}}.
Logo o ângulo polar limite (meio do cone) é
\phi_{0}=\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{7}}\bigr).
Como a região está acima do cone (peça próxima ao eixo +z), \varphi varia de 0 até \phi_{0}.

Passo 5

A elipsoide em esféricas: substituindo r^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi e z^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi na equação 81r^{2}+z^{2}=81,
81\rho^{2}\sin^{2}\varphi + \rho^{2}\cos^{2}\varphi =81
\Longrightarrow\quad \rho^{2}\bigl(81\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi\bigr)=81
\Longrightarrow\quad \rho^{2}=\frac{81}{81\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi}
\Longrightarrow\quad \rho_{\max}(\varphi)=\frac{9}{\sqrt{\,81\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi\,}}.
Portanto, para cada \varphi fixo (com 0\le\varphi\le\phi_{0}), \rho varia de 0 até \rho_{\max}(\varphi).

Passo 6

Transformação da densidade e do elemento de volume em esféricas.
  • Primeiro x^{2}+y^{2}=(\rho\sin\varphi)^{2}=\rho^{2}\sin^{2}\varphi. Assim
f(x,y,z)=4\bigl(\rho^{2}\sin^{2}\varphi\bigr)^{3}\cdot(\rho\cos\varphi) =4\rho^{7}\sin^{6}\varphi\cos\varphi.
  • O elemento de volume em esféricas é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Multiplicando,
f\,dV = 4\rho^{7}\sin^{6}\varphi\cos\varphi \cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =4\rho^{9}\sin^{7}\varphi\cos\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Assim o integral em esféricas é (conceitual)
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\phi_{0}}\int_{\rho=0}^{\rho_{\max}(\varphi)} 4\rho^{9}\sin^{7}\varphi\cos\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
com \phi_{0}=\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{7}}\bigr) e \rho_{\max}(\varphi) dado acima.

Resposta

(a.i) z\in\bigl[\sqrt{7}\,r,\;9\sqrt{1-r^{2}}\bigr]
(a.ii) r\in\bigl[0,\;\dfrac{9}{\sqrt{88}}\bigr]
(a.iii) \theta\in[0,\;2\pi]
Integrando (cilíndricas): f\,dV = 4r^{7}z\,dz\,dr\,d\theta
(b.i) \rho\in\biggl[0,\;\dfrac{9}{\sqrt{\,81\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi\,}}\biggr]
(b.ii) \varphi\in\bigl[0,\;\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{7}}\bigr)\bigr]
Integrando (esféricas): f\,dV = 4\rho^{9}\sin^{7}\varphi\cos\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

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