Seja
o sólido que está situado simultaneamente no interior das superfícies
Suponha que a densidade de massa de
seja dada por
.
Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas que permitem calcular a massa do sólido
e, a seguir, responda aos seguintes itens:
a) Em coordenadas cilíndricas, basta uma única integral para calcular a massa de
.
Tomando
como variável totalmente dependente,
como variável parcialmente dependente e
como variável independente, e SEM USAR SIMETRIA, têm-se que os limitantes dessa integral são:
i)
□ , □ ]
ii)
, □ ]
iii)
, □ ]
Além disso, o integrando (já considerando o elemento infinitesimal de volume), é dado por
□
.
b) Em coordenadas esféricas, basta uma única integral para calcular a massa de
. Tomando
como variável totalmente dependente e
como variável parcialmente dependente e SEM USAR SIMETRIA, têm-se que os limitantes dessas integrais são:
i)
, □ ]
ii)
, □ ]
Os limitantes para
não precisam ser informados, pois são os mesmos que em cilíndricas. Além disso, o integrando (já considerando o elemento infinitesimal de volume), é dado por
□
.
Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas que permitem calcular a massa do sólido
a) Em coordenadas cilíndricas, basta uma única integral para calcular a massa de
i)
ii)
iii)
b) Em coordenadas esféricas, basta uma única integral para calcular a massa de
i)
ii)
Passo 1
O enunciado dá o sólido
definido simultaneamente pelas duas superfícies
e
e a densidade
Pede-se montar as integrais triplas para a massa em coordenadas cilíndricas e em esféricas e, em seguida, preencher os limitantes e o integrando (já com o elemento de volume) nos formatos indicados nos itens (a) e (b). Vou determinar as equações das superfícies em coordenadas apropriadas, achar a curva de interseção (para o limite radial / angular) e transformar a densidade e o elemento de volume.
Passo 2
Passo para coordenadas cilíndricas. Em cilíndricas usamos
.
- A segunda superfície (cone) fica
- A primeira superfície (elipsoide) com
fica
ou seja as porções superiores/inferiores são
. Como o cone dado tem
, a região de interesse fica na parte superior, entre o cone e a cúpula superior do elipsoide:
- A curva de interseção (
comum às duas superfícies) obtém-se impondo e . Igualando:
Logo o raio máximo de integração é
Passo 3
Transformação da densidade e do elemento de volume em cilíndricas.
- Na densidade,
, então
- O elemento de volume em cilíndricas é
. - Multiplicando, o integrando (densidade vezes
) fica
Portanto, o integral em cilíndricas toma a forma (conceitual)
com
calculado acima.
Passo 4
Agora passo para coordenadas esféricas. Em esféricas usamos
.
- A equação do cone
em esféricas é
Logo o ângulo polar limite (meio do cone) é
Como a região está acima do cone (peça próxima ao eixo
),
varia de
até
.
Passo 5
A elipsoide em esféricas: substituindo
e
na equação
,
Portanto, para cada
fixo (com
),
varia de
até
.
Passo 6
Transformação da densidade e do elemento de volume em esféricas.
- Primeiro
. Assim
- O elemento de volume em esféricas é
. - Multiplicando,
Assim o integral em esféricas é (conceitual)
com
e
dado acima.
Resposta
(a.i)
(a.ii)
(a.iii)
Integrando (cilíndricas):
(a.ii)
(a.iii)
Integrando (cilíndricas):
(b.i)
(b.ii)
Integrando (esféricas):
(b.ii)
Integrando (esféricas):