Nos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece apenas as condições iniciais:
y(0)=0,\qquad y'(0)=1,\qquad y''(0)=0,\qquad y^{(3)}(0)=1.
O pedido original é “usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado”. No entanto, a equação diferencial (ou seja, a relação entre y e suas derivadas, e/ou o termo forçante g(t)) NÃO foi fornecida no enunciado. Sem essa equação diferencial não existe informação suficiente para determinar a solução y(t).

Passo 2

Como não dá para calcular a solução final sem a equação diferencial, vou aproveitar para explicar passo a passo como se aplica a transformada de Laplace a um problema de valor inicial linear com coeficientes constantes — isto é exatamente o procedimento que seria usado para resolver a sua questão, assim que a equação for conhecida. Isso vai te preparar para aplicar o método na prova de forma direta e sem surpresas.

Passo 3

Definição e propriedades básicas (rápido lembrete):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • A transformada é linear: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Para resolver um PVI (problema de valor inicial) linear, toma-se a transformada de Laplace de ambos os lados da EDO, transformando derivadas em polinômios em s multiplicando \mathcal{L}\{y\}=Y(s), e incorporando as condições iniciais.

Passo 4

Fórmulas padrão para a transformada das derivadas (estas são essenciais — decora ou memorizá-las e entenda de onde vêm):
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s).
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
\mathcal{L}\{y^{(3)}(t)\}=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0).
\mathcal{L}\{y^{(4)}(t)\}=s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0).
Breve explicação do porquê: ao integrar por partes repetidamente a transformada de \,y^{(n)}(t)\, aparece s^{n}Y(s) menos uma combinação linear das derivadas iniciais — esses termos vêm das parcelas de contorno em t=0.

Passo 5

Agora substituímos as condições iniciais dadas nas fórmulas acima — isso é algo que você fará no começo do processo quando tiver a EDO. Com \,y(0)=0,\\ y'(0)=1,\\ y''(0)=0,\\ y^{(3)}(0)=1, obtemos:
\mathcal{L}\{y\}=Y(s).
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-\underbrace{y(0)}_{=0}=sY(s).
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\underbrace{y(0)}_{=0}-\underbrace{y'(0)}_{=1}=s^{2}Y(s)-1.
\mathcal{L}\{y^{(3)}\}=s^{3}Y(s)-s^{2}\underbrace{y(0)}_{=0}-s\underbrace{y'(0)}_{=1}-\underbrace{y''(0)}_{=0}=s^{3}Y(s)-s.
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s)-s^{3}\underbrace{y(0)}_{=0}-s^{2}\underbrace{y'(0)}_{=1}-s\underbrace{y''(0)}_{=0}-\underbrace{y^{(3)}(0)}_{=1}=s^{4}Y(s)-s^{2}-1.
Esses são os blocos que você colocará na transformada da EDO para eliminar as derivadas e incorporar as condições iniciais numericamente.

Passo 6

Estrutura geral para resolver um PVI linear de ordem n com coeficientes constantes:
  • Suponha a EDO
a_n y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+a_1 y'+a_0 y = g(t).
  • Tomar transformada de Laplace em ambos os lados e substituir as fórmulas das derivadas dá uma equação algébrica do tipo
\big(a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0\big) Y(s) \;-\; (\text{termos conhecidos vindos das condições iniciais}) \;=\; G(s),çõ
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Isola-se Y(s):
Y(s)=\frac{G(s)+(\text{termos das condições iniciais})}{a_n s^n + \cdots + a_0}.çõ
  • A última etapa é inverter \mathcal{L} para obter y(t). Para isso costuma-se usar decomposição em frações parciais, tabela de transformadas e teoremas de deslocamento (shifting), dependendo da forma de Y(s).

Passo 7

Ferramentas comuns para obter a inversa \mathcal{L}^{-1}:
  • Tabela básica: \mathcal{L}\{1\}=1/s, \mathcal{L}\{t^n\}=n!/s^{n+1}, \mathcal{L}\{e^{at}\}=1/(s-a), \mathcal{L}\{\sin bt\}=b/(s^{2}+b^{2}), \mathcal{L}\{\cos bt\}=s/(s^{2}+b^{2}).
  • Teorema do deslocamento no tempo: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
  • Para polinômios/quadráticos no denominador: completar quadrado e usar combinações de exponenciais vezes seno/cosseno.
  • Para denominadores de ordem superior: fatorar o polinômio no denominador (quando possível) e usar decomposição em frações parciais; às vezes aparecem termos do tipo (s+a)^2+b^2 que geram e^{-a t}\cos(bt) e e^{-a t}\sin(bt).

Passo 8

Recapitulando o que exatamente você precisa fazer, passo a passo, quando tiver a equação diferencial:
  1. Escrever a EDO e confirmar as condições iniciais (aqui já temos os valores numéricos).
  2. Tomar \mathcal{L} em ambos os lados; substituir \mathcal{L}\{y^{(k)}\} usando as fórmulas do Passo 4 e os valores numéricos do Passo 5.
  3. Resolver para Y(s) (ficará uma expressão racional em s).
  4. Fazer decomposição/transformações necessárias para obter \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.
  5. Escrever a solução y(t) e checar que as condições iniciais são satisfeitas (é um bom hábito).

Resposta

Não é possível determinar y(t) porque a equação diferencial (a EDO a ser resolvida) não foi fornecida no enunciado.

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