Nos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=1
O pedido original é “usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado”. No entanto, a equação diferencial (ou seja, a relação entre y e suas derivadas, e/ou o termo forçante g(t)) NÃO foi fornecida no enunciado. Sem essa equação diferencial não existe informação suficiente para determinar a solução y(t).
Passo 2
Como não dá para calcular a solução final sem a equação diferencial, vou aproveitar para explicar passo a passo como se aplica a transformada de Laplace a um problema de valor inicial linear com coeficientes constantes — isto é exatamente o procedimento que seria usado para resolver a sua questão, assim que a equação for conhecida. Isso vai te preparar para aplicar o método na prova de forma direta e sem surpresas.
Passo 3
Definição e propriedades básicas (rápido lembrete):
A transformada é linear: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Para resolver um PVI (problema de valor inicial) linear, toma-se a transformada de Laplace de ambos os lados da EDO, transformando derivadas em polinômios em s multiplicando \mathcal{L}\{y\}=Y(s), e incorporando as condições iniciais.
Passo 4
Fórmulas padrão para a transformada das derivadas (estas são essenciais — decora ou memorizá-las e entenda de onde vêm):
Breve explicação do porquê: ao integrar por partes repetidamente a transformada de \,y^{(n)}(t)\, aparece s^{n}Y(s) menos uma combinação linear das derivadas iniciais — esses termos vêm das parcelas de contorno em t=0.
Passo 5
Agora substituímos as condições iniciais dadas nas fórmulas acima — isso é algo que você fará no começo do processo quando tiver a EDO. Com \,y(0)=0,\\ y'(0)=1,\\ y''(0)=0,\\ y^{(3)}(0)=1, obtemos:
Y(s)=\frac{G(s)+(\text{termos das condições iniciais})}{a_n s^n + \cdots + a_0}.çõ
A última etapa é inverter \mathcal{L} para obter y(t). Para isso costuma-se usar decomposição em frações parciais, tabela de transformadas e teoremas de deslocamento (shifting), dependendo da forma de Y(s).
Passo 7
Ferramentas comuns para obter a inversa \mathcal{L}^{-1}:
Teorema do deslocamento no tempo: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).
Para polinômios/quadráticos no denominador: completar quadrado e usar combinações de exponenciais vezes seno/cosseno.
Para denominadores de ordem superior: fatorar o polinômio no denominador (quando possível) e usar decomposição em frações parciais; às vezes aparecem termos do tipo (s+a)^2+b^2 que geram e^{-a t}\cos(bt) e e^{-a t}\sin(bt).
Passo 8
Recapitulando o que exatamente você precisa fazer, passo a passo, quando tiver a equação diferencial:
Escrever a EDO e confirmar as condições iniciais (aqui já temos os valores numéricos).
Tomar \mathcal{L} em ambos os lados; substituir \mathcal{L}\{y^{(k)}\} usando as fórmulas do Passo 4 e os valores numéricos do Passo 5.
Resolver para Y(s) (ficará uma expressão racional em s).
Fazer decomposição/transformações necessárias para obter \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.
Escrever a solução y(t) e checar que as condições iniciais são satisfeitas (é um bom hábito).
Resposta
Não é possível determinar y(t) porque a equação diferencial (a EDO a ser resolvida) não foi fornecida no enunciado.