Usando uma integral dupla, calcule o volume da pirâmide cujos vértices são os pontos
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma pirâmide definida por quatro pontos no espaço: $ A = (0, 0, 6) $, $ B = (0, 2, 0) $, $ C = (0, 0, 0) $ e $ D = (3, 0, 0) $. Nosso objetivo é calcular o volume dessa pirâmide utilizando uma integral dupla. Para isso, vamos precisar dos conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, e geometria espacial para definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a pirâmide. Os pontos $ B $, $ C $ e $ D $ estão na base da pirâmide, que está no plano $ z = 0 $. O ponto $ A $ é o vértice superior da pirâmide, localizado no eixo $ z $. Para calcular o volume, precisamos determinar a equação do plano que forma as faces inclinadas da pirâmide.
Passo 3
Vamos encontrar a equação do plano que passa pelos pontos $ A $, $ B $ e $ D $. A equação geral de um plano é dada por:
Precisamos encontrar os coeficientes $ A $, $ B $ e $ C $ que satisfazem as coordenadas dos pontos $ A $, $ B $ e $ D $.
Passo 4
Substituindo as coordenadas dos pontos na equação do plano:
Para o ponto $ A = (0, 0, 6) $:
Para o ponto $ B = (0, 2, 0) $:
Para o ponto $ D = (3, 0, 0) $:
Passo 5
Agora temos o sistema de equações:
Podemos igualar as expressões para $ D $:
Podemos escolher $ C = 1 $ para simplificar:
Portanto, a equação do plano fica:
Passo 6
Agora, para calcular o volume da pirâmide, usamos a integral dupla sobre a área da base (no plano $ z = 0 $) da função $ z(x, y) $:
Substituindo $ z(x, y) $:
Passo 7
Precisamos definir os limites de integração para a região $ D $, que é a base da pirâmide no plano $ z = 0 $. Os vértices da base são $ B = (0, 2, 0) $, $ C = (0, 0, 0) $ e $ D = (3, 0, 0) $, formando um triângulo.
Para $ x $, varia de 0 a 3.
Para $ y $, em função de $ x $, varia de 0 até uma linha que conecta $ (3, 0) $ a $ (0, 2) $. A equação dessa linha pode ser encontrada pela relação:
Então, os limites de $ y $ são de 0 a $ 2 - \frac{2x}{3} $.
Passo 8
Configurar a integral dupla com os limites definidos:
Passo 9
Vamos resolver a integral interna em $ y $ primeiro:
Integrando termo a termo:
Então, a integral interna fica:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Primeiro, calculamos $ (6 - 2x)\left(2 - \frac{2x}{3}\right) $:
Segundo, calculamos $ \frac{3}{2}\left(2 - \frac{2x}{3}\right)^2 $:
Subtraindo as duas expressões:
Passo 11
Agora, integramos essa expressão em relação a $ x $ de 0 a 3:
Integrando termo a termo:
Então, a integral se torna:
Calculando em $ x = 3 $:
Em $ x = 0 $, todos os termos são zero.
Resposta
O volume da pirâmide é 6 unidades cúbicas.