Usando uma integral dupla, calcule o volume da pirâmide cujos vértices são os pontos A=(0,0,6), B=(0,2,0), C=(0,0,0) e D=(3,0,0).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma pirâmide definida por quatro pontos no espaço: $ A = (0, 0, 6) $, $ B = (0, 2, 0) $, $ C = (0, 0, 0) $ e $ D = (3, 0, 0) $. Nosso objetivo é calcular o volume dessa pirâmide utilizando uma integral dupla. Para isso, vamos precisar dos conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, e geometria espacial para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a pirâmide. Os pontos $ B $, $ C $ e $ D $ estão na base da pirâmide, que está no plano $ z = 0 $. O ponto $ A $ é o vértice superior da pirâmide, localizado no eixo $ z $. Para calcular o volume, precisamos determinar a equação do plano que forma as faces inclinadas da pirâmide.

Passo 3

Vamos encontrar a equação do plano que passa pelos pontos $ A $, $ B $ e $ D $. A equação geral de um plano é dada por:
A
Precisamos encontrar os coeficientes $ A $, $ B $ e $ C $ que satisfazem as coordenadas dos pontos $ A $, $ B $ e $ D $.

Passo 4

Substituindo as coordenadas dos pontos na equação do plano:
Para o ponto $ A = (0, 0, 6) $:
A = (0, 0, 6)
A(0) + B(0) + C(6) = D
Para o ponto $ B = (0, 2, 0) $:
6C = D
B = (0, 2, 0)
Para o ponto $ D = (3, 0, 0) $:
A(0) + B(2) + C(0) = D
2B = D

Passo 5

Agora temos o sistema de equações:
6C = D
2B = D
3A = D
Podemos igualar as expressões para $ D $:
D
6C = 2B Rightarrow 3C = B
Podemos escolher $ C = 1 $ para simplificar:
6C = 3A Rightarrow 2C = A
C = 1
C = 1
Portanto, a equação do plano fica:
B = 3
A = 2

Passo 6

Agora, para calcular o volume da pirâmide, usamos a integral dupla sobre a área da base (no plano $ z = 0 $) da função $ z(x, y) $:
z = 0
Substituindo $ z(x, y) $:
z(x, y)

Passo 7

Precisamos definir os limites de integração para a região $ D $, que é a base da pirâmide no plano $ z = 0 $. Os vértices da base são $ B = (0, 2, 0) $, $ C = (0, 0, 0) $ e $ D = (3, 0, 0) $, formando um triângulo.
Para $ x $, varia de 0 a 3.
Para $ y $, em função de $ x $, varia de 0 até uma linha que conecta $ (3, 0) $ a $ (0, 2) $. A equação dessa linha pode ser encontrada pela relação:
D
Então, os limites de $ y $ são de 0 a $ 2 - \frac{2x}{3} $.

Passo 8

Configurar a integral dupla com os limites definidos:
Volume = integral0^3 integral0^2 - 2x3 (6 - 2x - 3y) , dy , dx

Passo 9

Vamos resolver a integral interna em $ y $ primeiro:
y
Integrando termo a termo:
integral0^2 - 2x3 (6 - 2x - 3y) , dy
integral (6 - 2x) , dy = (6 - 2x)y
Então, a integral interna fica:
integral (-3y) , dy = -32 y^2

Passo 10

Simplificando a expressão:
Primeiro, calculamos $ (6 - 2x)\left(2 - \frac{2x}{3}\right) $:
(6 - 2x)(2 - 2x3)
6 cdot 2 - 6 cdot 2x3 - 2x cdot 2 + 2x cdot 2x3
= 12 - 4x - 4x + 4x^23
Segundo, calculamos $ \frac{3}{2}\left(2 - \frac{2x}{3}\right)^2 $:
= 12 - 8x + 4x^23
32(2 - 2x3)^2
32 (4 - 8x3 + 4x^29)
Subtraindo as duas expressões:
= 32 cdot 4 - 32 cdot 8x3 + 32 cdot 4x^29
= 6 - 4x + 2x^23

Passo 11

Agora, integramos essa expressão em relação a $ x $ de 0 a 3:
x
Integrando termo a termo:
integral0^3 (6 - 4x + 2x^23) , dx
integral 6 , dx = 6x
integral (-4x) , dx = -2x^2
Então, a integral se torna:
integral 2x^23 , dx = 29x^3
Calculando em $ x = 3 $:
6x - 2x^2 + 29x^3 g|0^3
x = 3
6(3) - 2(3)^2 + 29(3)^3
Em $ x = 0 $, todos os termos são zero.

Resposta

O volume da pirâmide é 6 unidades cúbicas.

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