do Exemplo 5. Lembre-se de que
e
são soluções da equação homogênea associada. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque uma solução da equação não homogênea da forma
, em que
é uma função a ser determinada.
4a
Substitua
e
na Eq. (i) e mostre que
deve satisfazer
.
4a
Substitua
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. A matéria que estamos trabalhando aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos usar o método de redução de ordem. A ideia é encontrar uma solução particular da forma
, onde
é uma função que precisamos descobrir.
Passo 2
Primeiro, precisamos substituir
, sua primeira derivada
e sua segunda derivada
na equação original. Vamos calcular essas derivadas:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Distribuindo os termos:
Combine termos semelhantes:
Passo 5
Agora, percebemos que todos os termos têm
, então podemos dividir ambos os lados por
para simplificar:
Resposta
Após a substituição e simplificação, a função
deve satisfazer a equação diferencial: