y'' - 3y' - 4y = 2e^(-t)
do Exemplo 5. Lembre-se de que y1(t) = e^(-t) e y2(t) = e^(4 t) são soluções da equação homogênea associada. Adaptando o método de redução de ordem (Seção 3.4), busque uma solução da equação não homogênea da forma Y(t) = v(t) y1(t) = v(t) e^(-t), em que v(t) é uma função a ser determinada.
4a
Substitua Y(t), Y'(t) e Y''(t) na Eq. (i) e mostre que v(t) deve satisfazer v'' - 5 v' = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . A matéria que estamos trabalhando aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos usar o método de redução de ordem. A ideia é encontrar uma solução particular da forma , onde é uma função que precisamos descobrir.

Passo 2

Primeiro, precisamos substituir , sua primeira derivada e sua segunda derivada na equação original. Vamos calcular essas derivadas:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Distribuindo os termos:
Combine termos semelhantes:

Passo 5

Agora, percebemos que todos os termos têm , então podemos dividir ambos os lados por para simplificar:

Resposta

Após a substituição e simplificação, a função deve satisfazer a equação diferencial:

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