Esboce as curvas de nível para os dados valores do nível k. f(x, y) = (x - 2)² + (y + 3)², em k = 1, 4, 9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Isso está relacionado ao conteúdo de curvas de nível em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Basicamente, é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. No nosso caso, temos .

Passo 3

Vamos substituir por :
Essa é a equação de um círculo no plano .

Passo 4

Para cada valor de , teremos um círculo com centro em e raio . Vamos calcular os raios para cada :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos esboçar os círculos no plano:
  1. Círculo para :
    • Centro:
    • Raio: 1
  2. Círculo para :
    • Centro:
    • Raio: 2
  3. Círculo para :
    • Centro:
    • Raio: 3
Todos os círculos têm o mesmo centro, mas raios diferentes.

Resposta

As curvas de nível são três círculos concêntricos com centro em e raios iguais a 1, 2 e 3 para , respectivamente.

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