Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
- eixo de simetria;
- coordenadas do vértice;
- intersecção com o eixo
e
- intersecções com o eixo
, se houverem.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função quadrática
. A gente vai explorar alguns conceitos de funções quadráticas, como o eixo de simetria, o vértice da parábola, as intersecções com os eixos
e
, e também reescrever a função na forma canônica. Para isso, vamos usar a teoria das funções quadráticas e algumas técnicas básicas de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função quadrática geral, que tem a forma
. No nosso caso, a função é
, que pode ser reescrita como
. Portanto, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o eixo de simetria da parábola. A fórmula para o eixo de simetria é:
Substituindo os valores de
e
:
Portanto, o eixo de simetria é a reta
, que corresponde ao eixo
.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice tem coordenadas
, onde
e
.
Já sabemos que
. Vamos calcular
:
Então, o vértice é
.
Passo 5
Vamos encontrar agora a intersecção com o eixo
. Isso acontece quando
. Calculamos:
Portanto, a intersecção com o eixo
é no ponto
.
Passo 6
Para encontrar as intersecções com o eixo
, devemos resolver a equação
:
Assim, as intersecções com o eixo
ocorrem nos pontos
e
.
Passo 7
Agora, vamos reescrever a função na forma canônica (ou forma de vértice), que é dada por:
Substituindo os valores que já encontramos (
,
,
):
A função já está na forma canônica.
Resposta
Gráfico da função
:
- Eixo de simetria:
- Vértice:
- Intersecção com o eixo
: - Intersecções com o eixo
: e - Forma canônica:
ou simplificada,