Esboce o gráfico e determine a imagem e a forma canônica de cada uma das seguintes funções quadráticas, explicitando:
  • eixo de simetria;
  • coordenadas do vértice;
  • intersecção com o eixo y e
  • intersecções com o eixo x, se houverem.
    b) f(x) = 1 - x^2

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função quadrática . A gente vai explorar alguns conceitos de funções quadráticas, como o eixo de simetria, o vértice da parábola, as intersecções com os eixos e , e também reescrever a função na forma canônica. Para isso, vamos usar a teoria das funções quadráticas e algumas técnicas básicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função quadrática geral, que tem a forma . No nosso caso, a função é , que pode ser reescrita como . Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o eixo de simetria da parábola. A fórmula para o eixo de simetria é:
Substituindo os valores de e :
Portanto, o eixo de simetria é a reta , que corresponde ao eixo .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola. O vértice tem coordenadas , onde e .
Já sabemos que . Vamos calcular :
Então, o vértice é .

Passo 5

Vamos encontrar agora a intersecção com o eixo . Isso acontece quando . Calculamos:
Portanto, a intersecção com o eixo é no ponto .

Passo 6

Para encontrar as intersecções com o eixo , devemos resolver a equação :
Assim, as intersecções com o eixo ocorrem nos pontos e .

Passo 7

Agora, vamos reescrever a função na forma canônica (ou forma de vértice), que é dada por:
Substituindo os valores que já encontramos ( , , ):
A função já está na forma canônica.

Resposta

Gráfico da função :
  • Eixo de simetria:
  • Vértice:
  • Intersecção com o eixo :
  • Intersecções com o eixo : e
  • Forma canônica: ou simplificada,

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