Podemos escrever a equação diferencial com a função degrau:
y^prime prime+y=t cdot[u0(t)-u1(t)]
Aplicando a transformada de Laplace:
mathscrLy^prime prime+y=mathscrLt cdot[u0(t)-u1(t)] [s^2 Y(s)-s y(0)-y^prime(0)]+[Y(s)]=mathscrLt-e^-s mathscrLt s^2 Y(s)+Y(s)=1s^2(1-e^-s) (s^2+1) cdot Y(s)=1-e^-ss^2 Y(s)=1-e^-ss^2(s^2+1)=(1s^2-1s^2+1)(1-e^-s) y(t)=[t-sin (t)] cdot u0(t)-[(t-1)-sin (t-1)] cdot u1(t)
Passo 1
O enunciado pede a solução de
com
y(0)=0 e
y'(0)=0 . O conteúdo é resolução de equações diferenciais lineares com termos forçantes descontínuos usando transformada de Laplace e função degrau.
Passo 2
Escrevemos o lado direito usando degrau:
pois
u0(t)=1 para
t>=0 e
u1(t)=1 para
t>=1 .
Passo 3
Aplicamos Laplace em
Como
y(0)=0 e
y'(0)=0 , temos
e
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Passo 4
Isolando
Y(s) :
Passo 5
Fazemos frações parciais em
dfrac1s^2(s^2+1) :
de onde
A=1 e
B=-1 . Assim
portanto
Passo 6
Reconhecemos as transformadas inversas:
e pelo teorema do deslocamento
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