Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^prime prime+3 y=-48 x^2 e^3 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y = -48,x^2 e^3x,
e pede para resolvê-la pelo método dos coeficientes indeterminados, além de indicar em que intervalo a solução geral é válida. Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica associada
r^2 + 3 = 0
que tem raízes complexas
r = pm iraiz3
Portanto a solução geral da homogênea é
yh = C1cosl(raiz3,xr) + C2sinl(raiz3,xr)

Passo 3

O termo não homogêneo é -48,x^2 e^3x. Como e^3x não aparece na solução homogênea, fazemos o ansatz
yp = e^3xl(Ax^2 + Bx + Cr)
Definindo u(x)=Ax^2+Bx+C, temos
yp = u,e^3x, yp' = (u'+3u)e^3x, yp'' = (u''+6u'+9u)e^3x
Substituindo em y''+3y cancelamos e^3x e obtemos
u'' + 6u' +12u = -48,x^2

Passo 4

Como u''=2A, u'=2Ax+B e u=Ax^2+Bx+C, a equação fica
2A + 6(2Ax+B) +12(Ax^2+Bx+C) = -48x^2
Agrupando potências de x:
coeficiente de x^2: 12A = -48 Rightarrow A=-4,
coeficiente de x: 12A +12B=0 Rightarrow -48+12B=0 Rightarrow B=4,
termo constante: 2A+6B+12C=0 Rightarrow -8+24+12C=0 Rightarrow C=-tfrac43.
Assim
yp = e^3xl(-4x^2 + 4x - tfrac43r)

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1cosl(raiz3,xr) + C2sinl(raiz3,xr) + e^3xl(-4x^2 + 4x - tfrac43r)
Como os coeficientes da equação são constantes e não há singularidades, esta solução vale para todo xinR.

Resposta

y(x) = C1cosl(raiz3,xr) + C2sinl(raiz3,xr) + e^3xl(-4x^2 + 4x - tfrac43r), xin(-infty,infty)

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