Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede para resolvê-la pelo método dos coeficientes indeterminados, além de indicar em que intervalo a solução geral é válida. Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos a equação característica associada
que tem raízes complexas
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 3
O termo não homogêneo é
. Como
não aparece na solução homogênea, fazemos o ansatz
Definindo
, temos
Substituindo em
cancelamos
e obtemos
Passo 4
Como
,
e
, a equação fica
Agrupando potências de
:
coeficiente de :
,
coeficiente de :
,
termo constante: .
Assim
coeficiente de
coeficiente de
termo constante:
Assim
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Como os coeficientes da equação são constantes e não há singularidades, esta solução vale para todo
.