PRIMEIRA AVALIAÇÃO DE ONDAS E TERMODINÂMICA
Uma barra horizontal de cobre com 6,4 cm de diâmetro se projeta 7,3 cm para fora de uma parede. Um objeto de 1800 kg está suspenso na extremidade da barra. 0 módulo de cisalhamento do cobre é 6,3 times 10^10 N / m^2. Desprezando a massa da barra, determine (a) a tensão de cisalhamento que age sobre a barra e (b) a deflexão vertical da barra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma barra de cobre que está projetada para fora de uma parede e tem um objeto pesado pendurado nela. Precisamos resolver duas coisas:
(a) A tensão de cisalhamento que age na barra.
(b) A deflexão vertical da barra, ou seja, quanto ela vai se curvar por causa do peso.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre mecânica dos materiais, especificamente como calcular tensões e deformações em barras submetidas a cargas. Vamos usar fórmulas de tensão de cisalhamento e de flexão, além de transformar unidades quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar todas as medidas para o sistema internacional de unidades (metros e Newtons), para facilitar os cálculos.
  • Diâmetro da barra: 6,4 cm = 0,064 m
  • Comprimento projetado da barra: 7,3 cm = 0,073 m
  • Massa do objeto: 1800 kg
  • Aceleração da gravidade: aproximadamente 9,81 m/s²

Passo 3

Agora, vamos calcular a força que o objeto exerce na barra. Como estamos considerando a massa, usamos a relação entre massa e peso:
F = m times g
Onde:
  • $ F $ é a força (em Newtons)
  • $ m $ é a massa (em kg)
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (≈ 9,81 m/s²)
Substituindo os valores:
F ²

Passo 4

Para encontrar a tensão de cisalhamento ($ \tau $), usamos a fórmula:
tau
Onde:
  • $ F $ é a força (em N)
  • $ A $ é a área da seção transversal da barra (em m²)
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da barra, que é circular:
tau = FA
Substituindo o diâmetro:
F ²

Passo 5

Agora, calculamos a tensão de cisalhamento:
tau = 17.658 , N0,00322 , m² ≈ 5.483 times 10^3 , N/m² ²²
Ou seja, a tensão de cisalhamento é aproximadamente $ 5,483 \times 10^{3} , N/m² $.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): a deflexão vertical da barra. Para isso, vamos usar a fórmula da deflexão em uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada na extremidade:
de
Onde:
  • $ \delta $ é a deflexão (em metros)
  • $ F $ é a força (em N)
  • $ L $ é o comprimento projetado da barra (em metros)
  • $ E $ é o módulo de elasticidade do material (em N/m²)
  • $ I $ é o momento de inércia da seção transversal (em m⁴)
Nota: O enunciado forneceu o módulo de cisalhamento ($ G deãó E $). Para o cobre, a relação entre $ E $ e $ G $ é $ E = 2G(1 + \nu) $, onde $ \nu $ é o coeficiente de Poisson. Supondo que $ \nu $ para o cobre seja aproximadamente 0,34, podemos calcular $ E $.

Passo 7

Vamos calcular $ E $:
E
Substituindo os valores:
E = 2 times G times (1 + nu) ²
E = 2 times 6,3 times 10^10 , N/m² times (1 + 0,34)
E = 12,6 times 10^10 times 1,34 ²

Passo 8

Agora, calculamos o momento de inércia ($ I $) para uma seção circular:
I
Substituindo o diâmetro:
I = pi times d^464
I = pi times (0,064)^464
I = 3,1416 times 1,6777 times 10^-564

Passo 9

Agora, aplicamos na fórmula da deflexão:
de
Substituindo os valores:
de²
Calculando $ L^3 $:
L^3
Agora, multiplicando:
L^3 = 0,073^3 ≈ 0,000389 , m^3
de
de
de
Convertendo para centímetros:
de

Resposta

(a) A tensão de cisalhamento na barra é aproximadamente $ 5,483 \times 10^{3} , N/m² $.
(b) A deflexão vertical da barra é cerca de $ 1,648 \times 10^{-6} , cm $.

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