Seja a função
, encontre uma aproximação para
, usando um polinômio de Taylor de grau 4 no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma aproximação para
usando um polinômio de Taylor de grau 4 no ponto
.
Matéria envolvida: Vamos usar Polinômios de Taylor, que são uma forma de aproximar funções usando polinômios. Para isso, precisamos conhecer as derivadas da função até a ordem que o polinômio vai ter (no caso, quarto grau).
O que vamos precisar: A fórmula do polinômio de Taylor, as derivadas de
até a quarta ordem e, claro, calcular esses valores no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
(também chamado de série de Maclaurin):
Como queremos um polinômio de grau 4, vamos até a quarta derivada.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem e avaliá-las em
:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
Passo 4
Agora que temos as derivadas, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 4:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar
. Basta substituir
na expressão:
Vamos calcular cada termo:
Substituindo:
Calculando as divisões:
Somando tudo:
Resposta
Aproximando
usando um polinômio de Taylor de grau 4 no ponto
, obtemos: