Seja a função f(x)=cos (x), encontre uma aproximação para cos (0,2), usando um polinômio de Taylor de grau 4 no ponto c=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma aproximação para cos(0,2) usando um polinômio de Taylor de grau 4 no ponto c=0.
Matéria envolvida: Vamos usar Polinômios de Taylor, que são uma forma de aproximar funções usando polinômios. Para isso, precisamos conhecer as derivadas da função até a ordem que o polinômio vai ter (no caso, quarto grau).
O que vamos precisar: A fórmula do polinômio de Taylor, as derivadas de cos(x) até a quarta ordem e, claro, calcular esses valores no ponto c=0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do polinômio de Taylor de grau n para uma função f(x) em torno de c=0 (também chamado de série de Maclaurin):
Pn(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + dots + f^(n)(0)n!x^n
Como queremos um polinômio de grau 4, vamos até a quarta derivada.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de cos(x) até a quarta ordem e avaliá-las em x=0:
  1. Primeira derivada:
    f'(x) = -sin(x) Rightarrow f'(0) = -sin(0) = 0
  2. Segunda derivada:
    f''(x) = -cos(x) Rightarrow f''(0) = -cos(0) = -1
  3. Terceira derivada:
    f'''(x) = sin(x) Rightarrow f'''(0) = sin(0) = 0
  4. Quarta derivada:
    f''''(x) = cos(x) Rightarrow f''''(0) = cos(0) = 1

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 4:
P4(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + f''''(0)4!x^4
Substituindo os valores que encontramos:
P4(x) = cos(0) + 0 cdot x + -12x^2 + 0 cdot x^3 + 124x^4
Simplificando:
P4(x) = 1 - x^22 + x^424

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar cos(0,2). Basta substituir x = 0,2 na expressão:
P4(0,2) = 1 - (0,2)^22 + (0,2)^424
Vamos calcular cada termo:
  1. (0,2)^2 = 0,04
  2. (0,2)^4 = 0,0016
Substituindo:
P4(0,2) = 1 - 0,042 + 0,001624
Calculando as divisões:
P4(0,2) = 1 - 0,02 + 0,000066666
Somando tudo:
P4(0,2) approx 0,980066666

Resposta

Aproximando cos(0,2) usando um polinômio de Taylor de grau 4 no ponto c=0, obtemos:
cos(0,2) approx 0,98007

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