Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y=A e^5 x+B x e^5 x.

Passo 1

O enunciado pede pra achar uma equação diferencial cuja solução geral seja y = A e^5x + B x e^5x. O conteúdo é ED linear homogênea de segunda ordem com raízes repetidas do polinômio característico, e vamos usar a teoria de equações com raízes múltiplas.

Passo 2

Observando a solução geral, vemos duas soluções fundamentais: e^5x e x e^5x. Isso indica que a raiz r=5 do polinômio característico tem multiplicidade 2, pois em caso de raiz dupla aparece o termo x e^rx.

Passo 3

Para uma raiz dupla r=5, o polinômio característico é (r-5)^2=0.

Passo 4

O polinômio característico (r-5)^2=0 corresponde ao operador diferencial (D-5)^2 y=0, onde D=tfracddx.

Passo 5

Expandindo o operador, temos
(D-5)^2y = (D^2 - 10D +25)y = 0

Passo 6

Logo, a equação diferencial procurada é
y'' - 10y' + 25y = 0

Resposta

y'' - 10y' + 25y = 0

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