Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é
.
Passo 1
O enunciado pede pra achar uma equação diferencial cuja solução geral seja
. O conteúdo é ED linear homogênea de segunda ordem com raízes repetidas do polinômio característico, e vamos usar a teoria de equações com raízes múltiplas.
Passo 2
Observando a solução geral, vemos duas soluções fundamentais:
e
. Isso indica que a raiz
do polinômio característico tem multiplicidade 2, pois em caso de raiz dupla aparece o termo
.
Passo 3
Para uma raiz dupla
, o polinômio característico é
.
Passo 4
O polinômio característico
corresponde ao operador diferencial
, onde
.
Passo 5
Expandindo o operador, temos
Passo 6
Logo, a equação diferencial procurada é