Primeira Questão (2,5pts): Scja \vec{F} o campo vctorial dado por
\vec{F}(x, y, z)=\langle y, x+z, y+1\rangle
Seja C a curva com parametrização \left\langle e^{2 t}, t,-e^{2 t}\right\rangle, 0 \leq t \leq 2.
(a) (1,5 ponto) Determine se \vec{F} é ou não conservativo.
(b) (1,0 ponto) Calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo de C.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\langle y,\;x+z,\;y+1\rangle e a curva C parametrizada por
\vec{r}(t)=\langle e^{2t},\;t,\;-e^{2t}\rangle,\quad 0\le t\le2.
A parte (a) pede para verificar se \vec{F} é conservativo (usando o rotacional e o fato de o domínio ser \mathbb{R}^3), e a parte (b) pede a integral de linha \displaystyle\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}, que podemos calcular via teorema fundamental se houver potencial.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional \nabla \times \vec{F}. Seus componentes são
(\nabla\times\vec{F})_1 =\frac{\partial}{\partial y}(y+1)-\frac{\partial}{\partial z}(x+z) =1-1=0,
(\nabla\times\vec{F})_2 =\frac{\partial}{\partial z}(y)-\frac{\partial}{\partial x}(y+1) =0-0=0,
(\nabla\times\vec{F})_3 =\frac{\partial}{\partial x}(x+z)-\frac{\partial}{\partial y}(y) =1-1=0.
Como o domínio é todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conectado, concluímos que \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Agora achamos a função potencial f tal que \nabla f=\vec{F}.
Da condição \partial f/\partial x=y vem
f(x,y,z)=xy+g(y,z).
Da condição \partial f/\partial y=x+z obtemos
\frac{\partial}{\partial y}(xy+g)=x+\frac{\partial g}{\partial y}=x+z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=z \;\Longrightarrow\; g(y,z)=zy+h(z).
Por fim, \partial f/\partial z=y+1
\frac{\partial}{\partial z}(xy+zy+h)=y+h'(z)=y+1 \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=1\;\Longrightarrow\;h(z)=z+C.
Então
f(x,y,z)=xy+yz+z+C.

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r} =f\bigl(\vec{r}(2)\bigr)-f\bigl(\vec{r}(0)\bigr).
Temos \vec{r}(0)=(1,0,-1) e \vec{r}(2)=(e^4,2,-e^4).
Avaliações:
f(1,0,-1)=1\cdot0+0\cdot(-1)+(-1)+C=-1+C,
f(e^4,2,-e^4)=e^4\cdot2+2\cdot(-e^4)+(-e^4)+C=-e^4+C.
Logo
\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r} =(-e^4+C)-(-1+C) =1-e^4.

Resposta

(a) \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^3.
(b) \displaystyle\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=1-e^4.

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