Primeira Questão (2,5pts): Scja
o campo vctorial dado por
Seja
a curva com parametrização
.
(a) (1,5 ponto) Determine se
é ou não conservativo.
(b) (1,0 ponto) Calcule a integral de linha de
ao longo de
.
(a) (1,5 ponto) Determine se
(b) (1,0 ponto) Calcule a integral de linha de
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a curva
parametrizada por
A parte (a) pede para verificar se
é conservativo (usando o rotacional e o fato de o domínio ser
), e a parte (b) pede a integral de linha
, que podemos calcular via teorema fundamental se houver potencial.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional
. Seus componentes são
Como o domínio é todo
, que é simplesmente conectado, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Agora achamos a função potencial
tal que
.
Da condição vem
Da condição
Da condição
obtemos
Por fim,
dá
Então
Passo 4
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Temos
e
.
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Resposta
(a)
é conservativo em
.
(b)
(b)