Resolva as inequaçôes:
|x-2|+|x-1|>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\lvert x-2\rvert + \lvert x-1\rvert > 1.
O conteúdo aqui é análise de valor absoluto por definição em trechos, quebrando o eixo real nos pontos que anulam cada módulo, ou seja, x=1 e x=2.

Passo 2

Considere o caso x<1.
Nesse intervalo temos x-1<0 e x-2<0, logo
\lvert x-1\rvert = 1 - x,\quad \lvert x-2\rvert = 2 - x,
e a inequação vira
(2 - x) + (1 - x) > 1 \;\Longrightarrow\; 3 - 2x > 1 \;\Longrightarrow\; -2x > -2 \;\Longrightarrow\; x < 1.
Como já estamos assumindo x<1, toda essa região satisfaz a inequação.

Passo 3

Considere o caso 1 \le x < 2.
Aqui x-1\ge0 e x-2<0, então
\lvert x-1\rvert = x - 1,\quad \lvert x-2\rvert = 2 - x,
e a soma é
(x - 1) + (2 - x) = 1.
Como precisamos de 1>1, não há solução neste intervalo (a soma é sempre exatamente 1).

Passo 4

Considere o caso x\ge2.
Neste trecho x-1\ge0 e x-2\ge0, portanto
\lvert x-1\rvert = x - 1,\quad \lvert x-2\rvert = x - 2,
e a inequação fica
(x - 1) + (x - 2) > 1 \;\Longrightarrow\; 2x - 3 > 1 \;\Longrightarrow\; 2x > 4 \;\Longrightarrow\; x > 2.
Note que em x=2 a soma dá 1, não satisfazendo >1. Então a solução aqui é x>2.

Resposta

A solução da inequação é
(-\infty,1)\,\cup\,(2,\infty).

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