Primeira Questão: Determine se a série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Indique o teste ou critério utilizado.
(\mathbf{1 , 0 p t}) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 10^{n}}{(n+1) 4^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}10^{n}}{(n+1)4^{2n}}
converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. O conteúdo envolve séries alternadas e séries de termos positivos, e vamos usar sobretudo o teste da razão (para convergência absoluta) e comparar com uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Como 4^{2n}=(4^2)^n=16^n, temos
\frac{(-1)^{n}10^{n}}{(n+1)4^{2n}} =\frac{(-1)^{n}}{n+1}\,\frac{10^n}{16^n} =\frac{(-1)^{n}}{n+1}\Bigl(\frac{10}{16}\Bigr)^{n} =\frac{(-1)^{n}}{n+1}\Bigl(\frac{5}{8}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=0}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n}}{n+1}\Bigl(\frac{5}{8}\Bigr)^{n}\biggr| =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\Bigl(\frac{5}{8}\Bigr)^{n}.
Aplicando o teste da razão a b_n=\frac{1}{n+1}(5/8)^n:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+2}(5/8)^{n+1}}{\frac{1}{n+1}(5/8)^{n}} =\frac{5}{8}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2} =\frac{5}{8}<1.
Como L<1, a série de termos positivos \sum b_n converge. Logo a série original converge absolutamente.

Passo 4

Convergência absoluta implica convergência (farta). Portanto, não há apenas convergência condicional: a convergência é absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente (teste da razão, L=5/8<1).

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