Primeira Questão: Determine se a série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Indique o teste ou critério utilizado.
(\mathbf{1 , 0 p t}) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}}
Usaremos conhecimentos sobre séries numéricas, em especial o critério da p-série (ou comparação com p-séries).

Passo 2

Separemos o termo geral em duas parcelas:
a_{n}=\frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}} =\frac{\sqrt{n}}{n^{2}}+\frac{4}{n^{2}} =\frac{1}{n^{3/2}}+\frac{4}{n^{2}}.
Cada parcela é uma p-série com expoente p>1:
\sum \frac{1}{n^{3/2}}\quad(p=\tfrac32>1), \qquad \sum \frac{1}{n^{2}}\quad(p=2>1),
ambas convergem.

Passo 3

Como a soma de séries convergentes de termos não negativos também converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
converge. E, sendo a_{n}\ge0, essa convergência é absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente, pelo critério da p-série (com p=\tfrac32 e p=2).

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