Primeira Questão: Determine se a série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Indique o teste ou critério utilizado.
(\mathbf{1 , 0 p t}) \sum_{n=0}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \ln\!\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\Bigr)
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
O conteúdo é séries numéricas e o teste mais direto é o Teste da Divergência, que exige verificar se o termo geral tende a zero.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral \displaystyle a_{n} = \ln\!\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\Bigr).
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\ln\!\Bigl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\tfrac12\Bigr) = -\,\ln 2 \neq 0.

Passo 3

Pelo Teste da Divergência, se \lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0 então a série \sum a_{n} diverge.

Resposta

A série diverge (pelo Teste da Divergência).

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