Questão 1: Calcule os imites:
\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{4}+x^{2}} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \sqrt{x^{4}+x^{2}}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão é o produto de \sqrt{x^{4}+x^{2}} por \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right).
  • Sabemos que a função \operatorname{sen} (seno) tem valores entre -1 e 1 para qualquer argumento, ou seja
-1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Não farei resoluções aqui; só organizei o que o problema dá e o que precisa ser usado.

Passo 2

Primeiro simplificamos a raiz para enxergar melhor o comportamento quando x\to 0. Fatore x^{2} dentro da raiz:
\sqrt{x^{4}+x^{2}}=\sqrt{x^{2}\,(x^{2}+1)}.
Agora use a propriedade \sqrt{a b}=\sqrt{a}\,\sqrt{b} (válida para a,b\ge 0):
\sqrt{x^{2}\,(x^{2}+1)}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 3

Explique por que \sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert. A raiz quadrada de x^{2} é sempre um número não negativo, por isso
\sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert.
Logo podemos reescrever a parte radical como
\sqrt{x^{4}+x^{2}}=\lvert x\rvert\,\sqrt{x^{2}+1}.
Isto já mostra que esse fator tende a 0 quando multiplicado por algo limitado por uma constante, porque \lvert x\rvert\to 0 quando x\to 0.

Passo 4

Agora use a desigualdade do seno ( -1\le \operatorname{sen}\le 1) para obter uma desigualdade para o produto. Tomando valor absoluto do produto:
\left|\sqrt{x^{4}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right| = \lvert x\rvert\,\sqrt{x^{2}+1}\;\left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right|.
Como \left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right|\le 1, obtemos
\left|\sqrt{x^{4}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\right| \le \lvert x\rvert\,\sqrt{x^{2}+1}.
Isto implica a desigualdade em forma de “confronto” (squeeze):
-\,\lvert x\rvert\sqrt{x^{2}+1}\\ \le\\ \sqrt{x^{4}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)\\ \le\\ \lvert x\rvert\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 5

Apresente o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) de forma simples: se duas funções g(x) e h(x) satisfazem g(x)\le f(x)\le h(x) num entorno de um ponto e \lim g(x)=\lim h(x)=L, então \lim f(x)=L. Aqui, f(x)=\sqrt{x^{4}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right), g(x)=-\lvert x\rvert\sqrt{x^{2}+1} e h(x)=\lvert x\rvert\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 6

Calcule o limite das funções que servem de cotas. Observe que \sqrt{x^{2}+1} é contínua em 0 e \sqrt{0^{2}+1}=1. Como \lvert x\rvert\to 0 quando x\to 0, o produto tende a zero:
\lim_{x\to 0} \lvert x\rvert\sqrt{x^{2}+1}=0\cdot 1 = 0.
Da mesma forma,
\lim_{x\to 0} -\lvert x\rvert\sqrt{x^{2}+1}=0.

Passo 7

Aplicando o Teorema do Confronto com as cotas cujo limite é 0, concluímos que
\lim_{x\to 0} \sqrt{x^{4}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right)=0.
Comentário rápido e amigo: a ideia essencial aqui é que a parte com seno oscila rápido mas fica entre -1 e 1, enquanto a raiz vira algo proporcional a \lvert x\rvert que força o produto a zero. Mesmo que o seno oscile cada vez mais perto de zero, o fator \lvert x\rvert manda tudo para zero.

Resposta

0

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