Apresente o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) de forma simples: se duas funções g(x) e h(x) satisfazem g(x)\le f(x)\le h(x) num entorno de um ponto e \lim g(x)=\lim h(x)=L, então \lim f(x)=L. Aqui, f(x)=\sqrt{x^{4}+x^{2}}\;\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{x}\right), g(x)=-\lvert x\rvert\sqrt{x^{2}+1} e h(x)=\lvert x\rvert\sqrt{x^{2}+1}.
Passo 6
Calcule o limite das funções que servem de cotas. Observe que \sqrt{x^{2}+1} é contínua em 0 e \sqrt{0^{2}+1}=1. Como \lvert x\rvert\to 0 quando x\to 0, o produto tende a zero:
Comentário rápido e amigo: a ideia essencial aqui é que a parte com seno oscila rápido mas fica entre -1 e 1, enquanto a raiz vira algo proporcional a \lvert x\rvert que força o produto a zero. Mesmo que o seno oscile cada vez mais perto de zero, o fator \lvert x\rvert manda tudo para zero.