O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''-4y'+4y=\frac{e^{2x}}{x},\qquad x>0.
Informações dadas e o que é pedido:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea.
O termo não homogêneo é \dfrac{e^{2x}}{x}, definido para x>0.
A tarefa é obter a solução geral y(x) válida em x>0.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada, isto é
y''-4y'+4y=0.
A forma padrão é procurar soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2-4r+4=0.
Calculando o discriminante ou reconhecendo um quadrado:
r^2-4r+4=(r-2)^2=0 \quad\Rightarrow\quad r=2
é uma raiz dupla. Para uma raiz dupla r=2 a base de soluções da homogênea é
y_1(x)=e^{2x},\qquad y_2(x)=x e^{2x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
(Explicação didática curta: quando a equação característica tem raiz dupla r, as duas soluções linearmente independentes são e^{rx} e x e^{rx}. Isso vem de redução de ordem e é um resultado padrão.)
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular [y_p(x)) da equação completa. O termo não homogêneo é \dfrac{e^{2x}}{x}. O método de coeficientes a determinar não é aplicável aqui porque o fator 1/x não é polinomial nem exponencial simples; portanto escolhemos o método de variação das constantes (variation of parameters), que serve bem para qualquer termo do lado direito (desde que as soluções fundamentais da homogênea sejam conhecidas).
A ideia do método: procurar uma solução particular na forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde y_1,y_2 são as soluções fundamentais da homogênea e u_1,u_2 são funções a determinar. Para determinar u_1' e u_2' impomos o sistema padrão
Dividindo ambas as equações por e^{2x}\) (que nunca é zero) obtemos
\[\begin{cases} u_1' + x u_2' = 0,\\[4pt] 2u_1' + (1+2x)u_2' = \dfrac{1}{x}. \end{cases}
Da primeira equação u_1' = -x u_2'\]. Substituindo na segunda:
\[2(-x u_2') + (1+2x)u_2' = \dfrac{1}{x}.\]
Simplificando os coeficientes de \(u_2':
No método de variação das constantes os termos constantes de integração K_1,K_2 podem ser tomados zero porque qualquer constante multiplicando y_1 e y_2 já está incluído na solução homogênea y_h. Assim escolhemos
Verificação rápida (útil na prova para ganhar confiança): vamos aplicar o operador linear L[y]=y''-4y'+4y a y_p e confirmar que retorna \dfrac{e^{2x}}{x}.
Defina w(x)=x(\ln x -1). Então y_p=e^{2x}w.
Calcule: