Terceira Questão(2,0 pontos): Determine a solução geral de
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=\frac{e^{2 x}}{x}, \quad x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''-4y'+4y=\frac{e^{2x}}{x},\qquad x>0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não homogêneo é \dfrac{e^{2x}}{x}, definido para x>0.
  • A tarefa é obter a solução geral y(x) válida em x>0.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada, isto é
y''-4y'+4y=0.
A forma padrão é procurar soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2-4r+4=0.
Calculando o discriminante ou reconhecendo um quadrado:
r^2-4r+4=(r-2)^2=0 \quad\Rightarrow\quad r=2
é uma raiz dupla. Para uma raiz dupla r=2 a base de soluções da homogênea é
y_1(x)=e^{2x},\qquad y_2(x)=x e^{2x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
(Explicação didática curta: quando a equação característica tem raiz dupla r, as duas soluções linearmente independentes são e^{rx} e x e^{rx}. Isso vem de redução de ordem e é um resultado padrão.)

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular [y_p(x)) da equação completa. O termo não homogêneo é \dfrac{e^{2x}}{x}. O método de coeficientes a determinar não é aplicável aqui porque o fator 1/x não é polinomial nem exponencial simples; portanto escolhemos o método de variação das constantes (variation of parameters), que serve bem para qualquer termo do lado direito (desde que as soluções fundamentais da homogênea sejam conhecidas).
A ideia do método: procurar uma solução particular na forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde y_1,y_2 são as soluções fundamentais da homogênea e u_1,u_2 são funções a determinar. Para determinar u_1' e u_2' impomos o sistema padrão
\begin{cases} u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=\dfrac{e^{2x}}{x}. \end{cases}
Aqui y_1(x)=e^{2x}\] e \(y_2(x)=x e^{2x}.]

Passo 4

Calculemos as derivadas necessárias:
y_1(x)=e^{2x},\quad y_1'(x)=2e^{2x},
y_2(x)=x e^{2x},\quad y_2'(x)=e^{2x}+2x e^{2x}=(1+2x)e^{2x}.
Substituindo no sistema:
\begin{cases} u_1' e^{2x} + u_2' x e^{2x} = 0,\\[4pt] u_1' (2e^{2x}) + u_2' ((1+2x)e^{2x}) = \dfrac{e^{2x}}{x}. \end{cases}
Dividindo ambas as equações por e^{2x}\) (que nunca é zero) obtemos \[\begin{cases} u_1' + x u_2' = 0,\\[4pt] 2u_1' + (1+2x)u_2' = \dfrac{1}{x}. \end{cases}
Da primeira equação u_1' = -x u_2'\]. Substituindo na segunda: \[2(-x u_2') + (1+2x)u_2' = \dfrac{1}{x}.\] Simplificando os coeficientes de \(u_2':
(-2x + 1 + 2x)u_2' = \dfrac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad u_2' = \dfrac{1}{x}.
Então
u_1' = -x u_2' = -x\cdot\dfrac{1}{x} = -1.
Integramos:
u_2(x)=\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln x + K_2, \qquad u_1(x)=\int (-1)\,dx = -x + K_1.
No método de variação das constantes os termos constantes de integração K_1,K_2 podem ser tomados zero porque qualquer constante multiplicando y_1 e y_2 já está incluído na solução homogênea y_h. Assim escolhemos
u_1(x)=-x,\qquad u_2(x)=\ln x.]

Passo 5

A solução particular é então
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)=(-x)e^{2x} + (\ln x)\,x e^{2x}.
Fatorando:
y_p(x)=x e^{2x}(\ln x -1).

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova para ganhar confiança): vamos aplicar o operador linear L[y]=y''-4y'+4y a y_p e confirmar que retorna \dfrac{e^{2x}}{x}.
Defina w(x)=x(\ln x -1). Então y_p=e^{2x}w.
Calcule:
w'(x)=\ln x,\qquad w''(x)=\dfrac{1}{x}.
Usando produto com e^{2x}:
y_p' = e^{2x}(2w+w'),
y_p'' = e^{2x}\big(4w+4w'+w''\big).
Logo
L[y_p]=y_p''-4y_p'+4y_p = e^{2x}\big(4w+4w'+w''\big)-4e^{2x}(2w+w')+4e^{2x}w.
Agrupando termos dentro do colchete:
4w+4w'+w''-8w-4w'+4w = w'',
portanto
L[y_p]=e^{2x}w''=e^{2x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{e^{2x}}{x},
que é exatamente o termo não homogêneo. A verificação confere.

Passo 7

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\big(C_1 + C_2 x\big)e^{2x} + x e^{2x}(\ln x -1).
Podemos, se quisermos, fatorar e^{2x}:
y(x)=e^{2x}\Big(C_1 + x\big(C_2 + \ln x -1\big)\Big),
válida para x>0.

Resposta

y(x)=\big(C_1 + C_2 x\big)e^{2x} + x e^{2x}(\ln x -1)

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