1. Nos primeiros instantes da decolagem de um avião, sua a trajetória pode ser modelada pela função y= 0,001 x^{2}, com y dado em metros. Se o avião está subindo com velocidade vertical constante de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine as magnitudes da velocidade e da aceleração quando ele estiver a uma altura y=100 m do solo.
    Sol: \quad x=\sqrt{10^{3} y}=100 \sqrt{10} m ; v_{x}=\frac{500 v_{y}}{x}=5 \sqrt{10} \frac{m}{s} ; v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=18,7 \frac{m}{s} ; a_{x}=-\frac{v_{x}^{2}}{x}=-0,8 \frac{m}{s^{2}} ; \quad a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=a_{x}, pois a_{y}=0;

Passo 1

O enunciado fornece a trajetória e pede as magnitudes de velocidade e aceleração no instante em que y=100\\ \mathrm{m}. Dados relevantes:
  • A equação da trajetória: y=0,001\,x^{2}, com y em metros.
  • A velocidade vertical é constante: v_{y}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedir: as magnitudes da velocidade v e da aceleração a quando y=100\\ \mathrm{m}.
  • Há uma figura fornecida (imagem) que mostra a posição correspondente aproximadamente em x\approx316,2\\ \mathrm{m} e indica os vetores v_x, v_y e v. (Esta informação está na imagem; ela pode ser verificada com os cálculos abaixo.)

Passo 2

Entendendo velocidades em curvas: a posição do avião pode ser escrita como (x(t),y(t)). As componentes da velocidade são
v_x=\frac{dx}{dt},\qquad v_y=\frac{dy}{dt}.
Como y é dada como função de x, usamos a regra da cadeia para ligar v_y e v_x:
v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dx}\,v_x.
Portanto, para encontrar v_x precisamos da derivada \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Calcular a derivada da curva e expressar v_x em função de x e v_y.
A função é y=0,001\,x^{2}. A derivada em relação a x é
\frac{dy}{dx}=0,001\cdot 2x=0,002\,x.
Da relação do passo anterior:
v_y=\bigl(0,002\,x\bigr)\,v_x \quad\Rightarrow\quad v_x=\frac{v_y}{0,002\,x}.
Como \dfrac{1}{0,002}=500, fica
v_x=\frac{500\,v_y}{x}.

Passo 4

Determinar x quando y=100\\ \mathrm{m}. Usar a equação da trajetória:
100=0,001\,x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{100}{0,001}=100000=10^{5}.
Logo
x=\sqrt{10^{5}}=100\sqrt{10}\\ \mathrm{m}\approx 316,2277\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular v_x numericamente usando v_y=10\\ \mathrm{m/s} e x=100\sqrt{10}.
v_x=\frac{500\cdot v_y}{x}=\frac{500\cdot 10}{100\sqrt{10}}=\frac{5000}{100\sqrt{10}}=\frac{50}{\sqrt{10}}=5\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico:
v_x=5\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}\approx 15,811\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a magnitude da velocidade total v. A velocidade total é a magnitude do vetor (v_x,v_y):
v=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{10})^{2}+10^{2}}=\sqrt{25\cdot 10+100}=\sqrt{350}.
Valor numérico:
v=\sqrt{350}\\ \mathrm{m/s}\approx 18,708\\ \mathrm{m/s}\approx 18,7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Agora a aceleração. Como v_y é constante, tem-se
a_y=\frac{dv_y}{dt}=0.
A componente a_x é a_x=\dfrac{dv_x}{dt}. Usamos a expressão v_x=\dfrac{C}{x} com constante C=500\,v_y=5000. Diferenciando:
a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{C}{x}\right)=-C\,x^{-2}\,\frac{dx}{dt}=-C\,\frac{v_x}{x^{2}}.
Substituindo v_x=C/x simplifica-se para uma forma prática:
a_x=-\frac{v_x^{2}}{x}.
(Isto é útil: quando v_x depende de x como C/x, a aceleração longitudinal resultante é negativa e tem essa forma.)

Passo 8

Calcular a_x numericamente com os valores obtidos:
a_x=-\frac{v_x^{2}}{x}=-\frac{(5\sqrt{10})^{2}}{100\sqrt{10}} =-\frac{25\cdot 10}{100\sqrt{10}}=-\frac{250}{100\sqrt{10}}=-\frac{2,5}{\sqrt{10}}.
Valor numérico:
a_x\approx -0,790569\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx -0,79\\ \mathrm{m/s^{2}}.
A magnitude da aceleração é
a=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}=\sqrt{a_x^{2}+0^{2}}=|a_x|\approx 0,79\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 9

Resumo interpretativo rápido (força motivadora): o avião está subindo com componente vertical constante e sua componente horizontal diminui com x porque a inclinação da pista muda; por isso aparece uma aceleração horizontal negativa pequena. Os números finais são modestos (velocidade ~18,7 m/s e aceleração ~0,79 m/s²), o que faz sentido para os primeiros instantes de decolagem.

Resposta

v\approx 18,7\\ \mathrm{m/s}
a\approx 0,79\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados