- Nos primeiros instantes da decolagem de um avião, sua a trajetória pode ser modelada pela função
, com
dado em metros. Se o avião está subindo com velocidade vertical constante de
, determine as magnitudes da velocidade e da aceleração quando ele estiver a uma altura
do solo.
Sol:
, pois
;
Sol:
Passo 1
O enunciado fornece a trajetória e pede as magnitudes de velocidade e aceleração no instante em que
. Dados relevantes:
- A equação da trajetória:
, com em metros. - A velocidade vertical é constante:
. - Pedir: as magnitudes da velocidade
e da aceleração quando . - Há uma figura fornecida (imagem) que mostra a posição correspondente aproximadamente em
e indica os vetores , e . (Esta informação está na imagem; ela pode ser verificada com os cálculos abaixo.)
Passo 2
Entendendo velocidades em curvas: a posição do avião pode ser escrita como
. As componentes da velocidade são
Como
é dada como função de
, usamos a regra da cadeia para ligar
e
:
Portanto, para encontrar
precisamos da derivada
.
Passo 3
Calcular a derivada da curva e expressar
em função de
e
.
A função é . A derivada em relação a
é
A função é
Da relação do passo anterior:
Como
, fica
Passo 4
Determinar
quando
. Usar a equação da trajetória:
Logo
Passo 5
Calcular
numericamente usando
e
.
Valor numérico:
Passo 6
Calcular a magnitude da velocidade total
. A velocidade total é a magnitude do vetor
:
Valor numérico:
Passo 7
Agora a aceleração. Como
é constante, tem-se
A componente
é
. Usamos a expressão
com constante
. Diferenciando:
Substituindo
simplifica-se para uma forma prática:
(Isto é útil: quando
depende de
como
, a aceleração longitudinal resultante é negativa e tem essa forma.)
Passo 8
Calcular
numericamente com os valores obtidos:
Valor numérico:
A magnitude da aceleração é
Passo 9
Resumo interpretativo rápido (força motivadora): o avião está subindo com componente vertical constante e sua componente horizontal diminui com
porque a inclinação da pista muda; por isso aparece uma aceleração horizontal negativa pequena. Os números finais são modestos (velocidade ~18,7 m/s e aceleração ~0,79 m/s²), o que faz sentido para os primeiros instantes de decolagem.